2011年四川省自贡市高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数i（1-i）²等于（ ）
A．-2
B．2
C．-2i
D．2i

2. 难度：中等

设集合S={x||x|＜5}，T={x|＞0}  则S∩T=（ ）
A．{x|-7＜x＜-5}
B．{x|3＜x＜5}
C．{x|-5＜x＜3}
D．{x|-7＜x＜5}

3. 难度：中等

已知函数连续，则常数a的值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

4. 难度：中等

以经过抛物线y²=8x的焦点与x轴垂直的弦（通经）的长为直径的圆方程是（ ）
A．（x-1）²+y²=4
B．x²+（y-2）²=16
C．（x-2）²+y²=16
D．（x+2）²+y²=16

5. 难度：中等

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB₁D₁
B．AC₁⊥BD
C．AC₁⊥平面CB₁D₁
D．异面直线AD与CB₁所成的角为60°

6. 难度：中等

把函数g（x）=sinx（x∈R）按向量=（，2）平移后得到函数f（x），下面结论错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）在区间[0，]上是增函数
C．函数f（-x）的图象关于直线x=O对称
D．函数f（-2x）是奇函数

7. 难度：中等

设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ）
A．4a-5b=3
B．5a-4b=3
C．4a+5b=14
D．5a+4b=14

8. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项a₁≠0，其前n项的和为S_n，且S_n+1=2S_n+a₁，则等于（ ）
A．0
B．1
C．
D．2

9. 难度：中等

用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）
A．288个
B．240个
C．144个
D．126个

10. 难度：中等

某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（ ）
A．12万元
B．20万元
C．25万元
D．27万元

11. 难度：中等

如图，l₁、l₂、l₃是同一平面内的三条平行直线，l₁与l₂间的距离是1，l₂与l₃间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l₁、l₂、l₃上，则△ABC的边长是（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设x＞y＞0＞z，空间向量=（x，，3z），=（x，+，3z），且x²+9z²=4y（x-y），则•的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．2
D．5

二、解答题

13. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-4|+|x+2|（x∈R且x≠0）的最小值为k则（2x-）^k的展开式的常数项是     （用数字作答）

14. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁，F₂，其一条渐近线方程为y=x，点在该双曲线上，则=    ．

15. 难度：中等

如图，设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，则OD与平面ABC所成的角为     ．

16. 难度：中等

给出下列5个命题：
①0＜a≤是函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为单调减函数的充要条件；
②如图所示，“嫦娥探月卫星”沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用2C_l和2_c2分别表示摘圆轨道I和II的焦距，用2a₁和2a₂分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则有c₁a₂＞a₁c₂；
③函数y=f（x）与它的反函数y=f^-1（x）的图象若相交，则交点必在直线y=x上；
④己知函数f（x）=log_a（1-ax）在（O，1）上满足，f′（x）＞0，贝U＞1+a＞；
⑤函数f（x）=（x≠kπ+），k∈Z，/为虚数单位）的最小值为2；
其中所有真命题的代号是    ．

17. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xoy中，以Ox轴为始边做两个锐角α，β，且α，β的终边依次与单位圆O相交于M、N两点，已知M、N的横坐标分别为、
（I ）求α+β的值；
（II）在△ABC中，A，B为锐角，A=α，B=β，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若=（a+1，1），=（b+，1），当∥时，求a b、c的值．

18. 难度：中等

厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率；
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望Eξ，并求该商家拒收这批产品的概率．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁．
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角A₁-BC-A的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并予以证明．

20. 难度：中等

设平面直角坐标中，O为原点，N为动点，||=6，|=•，过点M作MM₁⊥y轴于M₁，过N作NN₁丄x轴于点N₁，=+，记点R的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II ）已知直线L与双曲线C₁：5x²-y²=36的右支相交于P、Q两点（其中点P在第一象限），线段OP交轨迹C于A，若=3，
S_△PAQ=-26tan∠PAQ，求直线L的方程．

21. 难度：中等

设函数，f（x）=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一个极值点是x=3．
（I）求a与b的关系式（用a表示b，并求f（x）的单调区间；
（11）设a＞0，g（x）=（a²+）e^x若存在ε₁，ε₂∈[0，4]使得f（ε₁）-g（ε₂）＜1成立，求a的取值范围．

22. 难度：中等

己知．函数f（x）=（x≠-1）的反函数是f^-1（x）．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数都有a_n=成立，且b_n=f^-1（a_n）•
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）记c_n=b_2n-b_2n-1（n∈N），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有T_n＜；
（III）设数列{b_n}的前n项和为R_n，已知正实数λ满足：对任意正整数n，R_n≤λn恒成立，求λ的最小值．