2009年湖北省荆州中学高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知向量集合，，则M∩N=（ ）
A．{1，1}
B．{1，1，-2，-2}
C．{（-2，-2）}
D．∅

2. 难度：中等

设在复平面内对应点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₂+a₇+a₈+a₁₁=48，a₃：a₁₁=1：2，则等于（ ）
A．
B．
C．1
D．2

4. 难度：中等

高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）
A．16种
B．18种
C．37种
D．48种

5. 难度：中等

若把函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数y=2x³+1的图象与函数y=3x²-b的图象有三个不相同的交点，则实数b的取值范围是（ ）
A．（-2，-1）
B．（-1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）

7. 难度：中等

把直线x-2y+λ=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好与圆x²+y²+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（ ）
A．3或13
B．-3或13
C．3或-13
D．-3或-13

8. 难度：中等

已知点P是椭圆：+=1（x≠0，y≠0）上的动点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F₁PF₂的角平分线上一点，且•=0，则|OM|的取值范围是（ ）
A．[0，3）
B．（0，2）
C．[2，3）
D．[0，4]

9. 难度：中等

正四面体A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得，设f（λ）=α_λ+β_λ，α_λ与β_λ分别表示EF与AC，BD所成的角，则（ ）
A．f（λ）是（0，+∞）上的增函数
B．f（λ）是（0，+∞）上的减函数
C．f（λ）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减
D．f（λ）是（0，+∞）上的常数函数

10. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（2x）=2f²（x）-1，现给定下列几个命题：
①f（x）不可能是奇函数； ②f（x）≥-1；
③f（x）不可能是常数函数；④若f（x）=a（a＞1），则不存在常数M，使得f（x）≤M成立．
在上述命题中错误命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、解答题

11. 难度：中等

已知方程2（λ+4）x²+（λ²-3λ+2）y²=1表示椭圆，则λ的取值范围为    ．

12. 难度：中等

将函数y=a（x+2）²ⁿ+bx²ⁿ（a＞0，n∈z且n＞0）向右平移一个单位后是一个偶函数，则y=ax²+bx+c的单调递减区间为    ．

13. 难度：中等

已知x，x+2y-2，2-2x-y是数列{a_n}中的三个非负项，则 的最小值为    ．

14. 难度：中等

函数y=kx+b，其中k，b（k≠0）是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数．而对于非线性可导函数f（x），在已知点
x附近一点x的函数值f（x），可以用如下方法求其近似代替值：f（x）≈f（x）+f^′（x）（x-x）．利用这一方法，对于实数
m=，取x=4，则m的近似代替值    m．（填“＞”或“＜”或“=”）

15. 难度：中等

如图所示的n×n的数表，满足每一行都是公差为d的等差数列，每一列都是公比为q的等比数列．已知a₁₁=a，则a₁₁+a₂₂+…+a_nn=    ．
．

16. 难度：中等

已知向量，函数．
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+B的形式，并求其图象的对称中心；
（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求x的取值范围及此时函数f（x）的值域．

17. 难度：中等

现从放有标号分别为数字1、2、3、4、5的5 张卡片的盒子中，有放回地先后取两张卡片，设两卡片的标号分别为x，y，且设ξ=|x-3|+|x-y|．
（1）求随机变量ξ的最大值，并求取得此最大值的概率；
（2）求随机变量ξ的分布列及其期望．

18. 难度：中等

如图，四面体ABCD的各个面都是直角三角形，已知AB⊥BC，BC⊥CD，AB=a，BC=a，CD=c．
（1）若AC⊥CD，求证：AB⊥BD；
（2）求四面体ABCD的表面积．

19. 难度：中等

自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0．不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．
（Ⅰ）求x_n+1与x_n的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（Ⅲ）设a=2，b=1，为保证对任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论．

20. 难度：中等

双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求Q点的坐标．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（x+a）-x，
（1）试确定f（x）的单调性；
（2）数列{a_n}满足a_n+1a_n-2a_n+1+1=0，且，S_n表示{a_n}的前n项之和
①求数列{a_n}的通项；   
②求证：S_n＜n+1-ln（n+2）．