2009年湖北省武汉市武昌区高三五月调考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“sinα=0”是“α=2kπ，k∈Z”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知I为实数集，M={x|x²-2x＜0}，N={x|y=}，则M∩（∁₁N）=（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0＜x＜2}
C．{x|x＜1}
D．φ

3. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，点在抛物线y²=x+4上，则过点P（n，a_n）和Q（n+2，a_n+2）（n∈N^*）的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）
A．（2，）
B．（-1，-1）
C．（-，-1）
D．（-，-2）

4. 难度：中等

直线xcosα+ysinα=2（a为实数）与圆x²+y²=1的位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定

5. 难度：中等

展开式的各项系数和大于8且小于32，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．
B．
C．
D．或

6. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a_n＞0，且a₁+a₂=1，S₄=10，则a₄+a₅=（ ）
A．16
B．27
C．36
D．81

7. 难度：中等

已知三条不同的直线m、n、l，两个不同平面α、β．有下列命题：
①m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
③若l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β；
④若m∥n，n⊂α，m∉α，则m∥α．
其中正确的命题是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②
D．③④

8. 难度：中等

正四面体的四个面上分别写有1，2，3，4，将3个这样均匀的四面体同时投掷于桌面上，则与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，函数y=f（x）的图象是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的两段弧，则不等式f（x）＜f（-x）+x的解集为（ ）
A．{x|-＜x＜0或＜x≤2}
B．{x|-2≤x＜-或＜x≤2}
C．{x|-2≤x＜-或＜x≤2}
D．{x|-＜x＜，且x≠0}

10. 难度：中等

不等式组所确定的平面区域记为D，若圆O：x²+y²=r²上的所有点都在区域D内，则圆O的面积的最大值是（ ）
A．2π
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

双曲线y²-x²=1的焦点坐标为    ．

12. 难度：中等

一样本的所有数据分组及频数如下：
[-0.5，0.5），C₅[0.5，1.5），C₅¹[1.5，2.5），C₅²    
[2.5，3.5），C₅³[3.5，4.5），C₅⁴[4.5，5.5），C₅⁵
则某数据在[1.5，4.5）内的频率为    ．

13. 难度：中等

如图，在半径为cm，圆心角为60°的扇形OAB中，点C为弧AB的中点，按如图截出一个内接矩形，则矩形的面积为    cm²．

14. 难度：中等

设函数f（x）=x³+x，若时，f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，则m取值范围是    ．

15. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的每一个顶点都在同一球面上，若AC=，BC=C₁C=1，∠ACB=90°，则A、C两点间的球面距离为    ．

16. 难度：中等

已知，，其中，设函数．
（1）求函数f（x）的值域；        
（2）若f（x）=5，求x的值．

17. 难度：中等

如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．
（1）求证：AP∥平面EFG；
（2）求二面角G-EF-D的大小．

18. 难度：中等

某公司的“咨询热线”电话共有6条外线，经长期统计发现，每天在电话高峰期内，外线电话同时打入的概率如下表（记电话同时打入数为ξ）：

ξ		1	2	3	4	5	6
P	0.13	0.35	0.27	0.14	0.08	0.02	0.01

（I）求ξ的数学期望Eξ；
（II）如果公司每天只安排两位接线员（一位接线员一次只能接一个电话），
①求每天电话高峰期内至少有一路电话不能一次接通的概率（用最简分数表示）；
②公司董事会决定，把“一周五个工作日中至少有四天在电话高峰期内电话都能一次接通”的概率视作公司的“美誉度”，如果“美誉度”低于0.8，就增派接线员，请你帮助计算一下，该公司是否需要增派接线员．

19. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数f^′（x）=-3x²+6x+9．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

20. 难度：中等

已知椭圆的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A、B分别是椭圆的左、右顶点，点M满足MB⊥AB，连接AM，交椭圆于P点，试问：在x轴上是否存在异于点A的定点C，使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点，若存在，求出C点的坐标；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=log₃是f（x）图象上的两点，横坐标为的点P满足2（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y₁+y₂为定值；
（Ⅱ）若，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．