2008年北京市宣武区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

sin600°的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，则“a₁＜0且0＜q＜1”是“对于任意n∈N^*都有a_n+1＞a_n”的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

已知向量=（x，y），=（-1，2 ），且+=（1，3），则||等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如果直线l、m与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则必有（ ）
A．α⊥γ且m∥β
B．α⊥γ且l⊥m
C．m∥β且l⊥m
D．α∥β且α⊥γ

5. 难度：中等

编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的做法是（ ）
A．10种
B．20种
C．30种
D．60种

6. 难度：中等

函数f（x）=log_a|x|+1（0＜a＜1）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是（ ）
A．8
B．
C．10
D．

8. 难度：中等

给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为；
②函数y=f（x）的图象关于直线（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；
④函数y=f（x）在上是增函数．
其中正确的命题的序号是（ ）
A．①
B．②③
C．①②③
D．①④

二、解答题

9. 难度：中等

若复数z=（a-2）+3i（a∈R）是纯虚数，则=    ．

10. 难度：中等

设集合A={x||x-2|≤2，x∈R}，B={y|y=x²-2x+2，0≤x≤3}，则∁_R（A∩B）=    ．

11. 难度：中等

若展开式的第4项含x³，则n的值为    ．

12. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域的面积是5，则a的值是    ．

13. 难度：中等

数列{a_n}中，是等差数列，则a₁₁=    ．

14. 难度：中等

长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C（x，y）满足=2，则动点C的轨迹方程是    ．

15. 难度：中等

已知向量=（sinB，1-cosB）与向量=（2，0）的夹角为，其中A、B、C是△ABC的内角．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

16. 难度：中等

某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：

版本	人教A版	人教B版	苏教版	北师大版
人数	20	15	5	10

（1）从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
（2）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的变分布列和数学期望．

17. 难度：中等

如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB
（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（3）求二面角C-PA-B 的大小的余弦值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-x+2，（a∈R）
（1）若f（x）在（0，1）上是减函数，求a的最大值；
（2）若f（x）的单调递减区间是，求函数y=f（x）图象过点（1，1）的切线与两坐标轴围成图形的面积．

19. 难度：中等

在面积为9的△ABC中，，且．现建立以A点为坐标原点，以∠BAC的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示．
（1）求AB、AC所在的直线方程；
（2）求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；
（3）过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE（E、F为垂足），求的值．

20. 难度：中等

根据定义在集合A上的函数y=f（x），构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x∈A，计算出x₁=f（x）；
②若x∉A，则数列发生器结束工作；
若x∈A，则输出x₁，并将x₁反馈回输入端，再计算出x₂=f（x₁）．并依此规律继续下去．
现在有A={x|0＜x＜1}，（m∈N^*）．
（1）求证：对任意x∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{x_n}；
（2）若，记（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（3）在得条件下，证明（m∈N^*）．