2008-2009学年江苏省南通市启东中学高三（下）5月月考数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

计算=    ．

2. 难度：中等

设向量a=（，sina）的模为，则cos2a=    ．

3. 难度：中等

如图正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若△A′B′C′的面积为，那么△ABC的面积为     ．

4. 难度：中等

正项的等差数列{a_n}中，2a₃-a₇²+2a₁₁=0，数列{b_n}是等比数列，且b₇=a₇，则b₆b₈=    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=sin⁴x+cos²x的最小正周期是    ．

6. 难度：中等

根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T为    ．

7. 难度：中等

复数z=（a-cosθ）+（a-sinθ）i．若对一切θ∈R，|z|≤3恒成立，则实数a的取值范围为    ．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=f′（0）cosx+sinx，则函数f（x）在处的切线方程是     ．

9. 难度：中等

不等式的解集是    ．

10. 难度：中等

过坐标原点O向圆 C：x²+y²-8x+12=0引两条切线l₁和l₂，那么与圆C及直线l₁、l₂都相切的半径最小的圆的标准方程是    ．

11. 难度：中等

从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：

性别 人数 生活能否自理	男	女
能	178	278
不能	23	21

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多    人．

12. 难度：中等

若不等式≤a≤，在t∈（0，2]上恒成立，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知椭圆+=1的左右焦点分别为F₁与F₂，点P在直线l：x-y+8+2=0上．当∠F₁PF₂取最大值时，的比值为    ．

14. 难度：中等

设a=lnz+ln[x（yz）^-1+1]，b=lny+ln[（xyz）^-1+1]，记a，b中最大数为M，则M的最小值为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，=（2a+c，b），=（cosB，cosC），若．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b=，求a+c的最大值．

16. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，D是BC的中点，点P在平面BCC₁B₁内，PB₁=PC₁=
（Ⅰ）求证：PA₁⊥BC；
（Ⅱ）求证：PB₁∥平面AC₁D．

17. 难度：中等

将圆x²+y²+2x-2y=0按向量=（1，-1）平移得到圆O，直线 l与圆O相交于A、B两点，若在圆O上存在点C，使+=且，求直线l的方程．

18. 难度：中等

已知△ABC的顶点分别为A（0，0），B（m，m），C（c，0），其中c＞0
（1）若c=5，m=1，P是△ABC（含边界）内一点，P到三边 AB、BC、AC的距离分别为x，y和z，求x+y+z的取值范围；
（2）若m≠0，BC=5，求△ABC周长的最大值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+-a（a∈R，a≠0）在x=3处的切线方程为（2a-1）x-2y+3=0
（1）若g（x）=f（x+1），求证：曲线g（x）上的任意一点处的切线与直线x=0和直线y=ax围成的三角形面积为定值；
（2）若f（3）=3，是否存在实数m，k，使得f（x）+f（m-x）=k对于定义域内的任意x都成立；
（3）若方程f（x）=t（x²-2x+3）|x|有三个解，求实数t的取值范围．

20. 难度：中等

已知有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2），首项a₁=2，设该数列的前n项和为S_n，且S_n=（n=1，2，3，…，2k-1），其中常数a＞1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a=，数列{b_n}满足b_n=，（n=1，2，3，…，2k），求证：1≤b_n≤2；
（3）若（2）中数列{b_n}满足不等式：|b₁-|+，求k的最大值．

21. 难度：中等

A、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB、DE、OC．若AD=2，AE=1，求CD的长．
B．运用旋转矩阵，求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程．
C．已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值．
D．证明不等式：+++L+＜2．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足，，．
（Ⅰ）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列．

23. 难度：中等

（1）设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值；
（2）设正数满足=1，求证：≥-n．