2011年江苏省无锡市高考数学模拟试卷（2）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={1，sinθ}，，若A⊆B，则锐角θ=    ．

2. 难度：中等

若复数是纯虚数，则实数a=    ．

3. 难度：中等

某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、100，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为m的样本，已知每位学生被抽到的概率都为0.2，则m=    ．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂x，x∈[，2]，在区间[，2]上随机取一点x，使得f（x）≥0的概率为    ．

5. 难度：中等

已知，则sin2a=    ．

6. 难度：中等

给出30个数：1，2，4，7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推．要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如图所示），（1）请在图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；（1）处应填    ；（2）处应填    ．

7. 难度：中等

已知命题p：∃a，b∈（0，+∞），当a+b=1时，；命题q：∀x∈R，x²-x+1≥0恒成立．则命题¬p且q是    命题（填“真”或“假”）．

8. 难度：中等

已知直线l₁：4x-3y+6=0和直线l₂：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是     ．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（2x-a）在区间上恒有f（x）＞0，则实数a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知n²（n≥4且n∈N*）个正数排成一个n行n列的数阵：
            第1列     第2列    第3列   …第n列
第1行        a_1，1 a_1，2 a_1，3 …a_1，n
第2行        a_2，1 a_2，2 a_2，3 …a_2，n
第3行         a_3，1a_3，2 a_3，3 …a_3，n
…
第n行         a_n，1 a_n，2 a_n，3 …a_n，n
其中a_i，k（i，k∈N*，且1≤i≤n，1≤k≤n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵中各行的数依次成等差数列，各列的数依次成公比为2的等比数列，已知a₂，₃=8，a_3，4=20．则a_2，2=    ．

11. 难度：中等

自圆x²+y²-2x-4y+4=0外一点P（0，4）向圆引两条切线，切点分别为A，B，则等于    ．

12. 难度：中等

已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β
其中正确命题的序号是    ．

13. 难度：中等

有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上：（1）每次只能移动一个金属片；（2）较大金属片不能放在较小金属片上面．则
把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动    次．

14. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足g（x）≠0，f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）f（x）=a^x•g（x），．令，则使数列{a_n}的前n项和S_n不超过的最大自然数n的值为    ．

15. 难度：中等

在直角坐标系xoy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线（x≥0）．
（1）求的值；
（2）若点P，Q分别是角α始边、终边上的动点，且PQ=4，求△POQ面积最大时，点P，Q的坐标．

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，，D、M、N分别是AB、AA₁、BC₁的中点．
（1）求证：MN∥平面ABC；
（2）求证：CD⊥平面AA₁B₁B；
（3）试在BB₁上求一点F，使A₁B⊥平面C₁DF，证明你的结论．

17. 难度：中等

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当k=100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

18. 难度：中等

设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且AP：PQ=8：5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知直线l过点M（-3，0），倾斜角为，圆C过A，Q，F三点，若直线l恰好与圆C相切，求椭圆方程．

19. 难度：中等

已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列，设m，n，p，k都是正整数．
（1）求证：若m+n=2p，则a_m+a_n=2a_p，b_mb_n=（b_p）²；
（2）若a_n=3n+1，是否存在m，k，使得a_m+a_m+1=a_k？请说明理由；
（3）求使命题P：“若b_n=aqⁿ（a、q为常数，且aq≠0）对任意m，都存在k，有b_mb_m+1=b_k”成立的充要条件．

20. 难度：中等

已知函数
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若∃x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）Inx成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象在区间（1，+∞）内恒在直线y=2ax下方，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，且AC=AB，BC交⊙O于点D．已知BC=4，AD=6，AC交⊙O于点E，求四边形ABDE的周长．

22. 难度：中等

设T是矩阵所对应的变换，已知A（1，0），且T（A）=P．设b＞0，当△POA的面积为，，求a，b的值．

23. 难度：中等

选修4-4：参数方程与极坐标
试判断直线（t为参数）与曲C：（θ为参数）的位置关系．

24. 难度：中等

已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

25. 难度：中等

某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．
（1）求该学生考上大学的概率．
（2）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．

26. 难度：中等

已知数集序列{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数．
（1）求第n个集合中各数之和S_n的表达式；
（2）设n是不小于2的正整数，，求证：．