2010年北京大学附中高三数学提高练习试卷（4）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx-1（a，b∈R且a＞0）有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则a-b的取值范围是（ ）
A．（-1，1）
B．（-1，+∞）
C．（-2，1）
D．（-2，+∞）

2. 难度：中等

设{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，记M_n=a_b1+a_b2+…+a_bn，则{M_n}中不超过2009的项的个数为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

二、解答题

3. 难度：中等

若关于x的不等式ax²-|x|+2a＜0的解集为∅，则实数a的取值范围为    ．

4. 难度：中等

若数列），试通过计算C₁，C₂，C₃的值，推测出C_n=    ．

5. 难度：中等

若x⁵+1=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₅（x-1）⁵对任意实数x都成立，则a+a₁+a₂+…+a₅的值等于    ．

6. 难度：中等

如图，一棱长为2的正四面体O-ABC的顶点O在平面α内，底面ABC平行于平面α，平面OBC与平面α的交线为l．
（1）当平面OBC绕l顺时针旋转与平面α第一次重合时，求平面OBC转过角的正弦
值．
（2）在上述旋转过程中，△OBC在平面α上的投影为等腰△OB₁C₁（如图1），B₁C₁的中点为O₁．当AO⊥平面α时，问在线段OA上是否存在一点P，使O₁P⊥OBC？请说明理由．

7. 难度：中等

如图，椭圆=1的两焦点F₁，F₂与短轴两端点B₁，B₂构成∠B₂F₁B₁为120°，面积为的菱形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆相交于M，N两点（M，N不是左右顶点），且以MN为直径的圆过椭圆右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

8. 难度：中等

设函数．（p是实数，e是自然对数的底数）
（1）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；
（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（3）若在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，求p的取值范围．