2011年湖南省益阳市沅江市高三质量检测数学试卷2（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设A、B是两个集合，定义A-B={x|x∈A，且x∉B}，若M={x||x+1|≤2}，N={x|x=|sinα|，α∈R}，则M-N=（ ）
A．[-3，1]
B．[-3，0）
C．[0，1]
D．[-3，0]

2. 难度：中等

已知，且关于x的函数在R上有极值，则的夹角范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点，而且它被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒²的加速度匀加速开走，那么（ ）
A．人可在7米内追上汽车
B．人可在10米内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距离最近为5米
D．人追不上汽车，其间距离最近为7米

5. 难度：中等

平面上当两坐标轴不垂直时，称为斜坐标系．斜坐标定义为：若（其中分别是斜坐标系的x轴，y轴的单位向量），则称点P的坐标为（x，y）．在平面斜坐标系∠xoy=60°中，两点A（1，2），B（3，4）的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ABB₁⊥BC，且A₁C与底面成45°角，AB=BC=2，则该棱柱体积的最小值为（ ）

A．
B．
C．4
D．3

7. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），C（0，1），映射f将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'（2xy，x²-y²），则当点P沿着折线A-B-C运动时，在映射f的作用下，动点P'的轨迹是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=3x-2，x∈R．规定：给定一个实数x，赋值x₁=f（x₁），若x₁≤244，则继续赋值，x₂=f（x₂），…，以此类推，若x_n-1≤244，则x_n=f（x_n-1），否则停止赋值，如果得到x_n称为赋值了n次（n∈N^*）．已知赋值k次后该过程停止，则x的取值范围是（ ）
A．（3^k-6，3^k-5]
B．（3^k-6+1，3^k-5+1]
C．（3^5-k+1，3^6-k+1]
D．（3^4-k+1，3^5-k+1]

二、解答题

9. 难度：中等

设a∈R，且（a+i）²i为正实数，则a=    ．

10. 难度：中等

为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是    ．

11. 难度：中等

已知曲线方程f（x）=sin²x+2ax（a∈R），若对任意实数m直线l：x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

若（1-2^x）⁹展开式中第3项是288，则=    ．

13. 难度：中等

如图，直角三角形OA_iA_i+1（i=1，2，3…8）中，直角边|OA₁|=|A_iA_i+1|=1（i=1，2，3…8），设a_i=|OA_i|（i=1，2，3…8），则数列{a_n}的通项公式是    ．

14. 难度：中等

已知，O为原点，点P（x，y）的坐标满足，则的最大值是    ，此时点P的坐标是    ．

15. 难度：中等

如图，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题：①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②三棱锥A′-FED的体积有最大值；③恒有平面A′GF⊥平面BCED；
④异面直线A′E与BD不可能互相垂直；⑤异面直线FE与A′D所成角的取值范围是．其中正确命题的序号是    ．（将正确命题的序号都填上）

16. 难度：中等

已知向量，，且．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）若的最小值等于，求λ值及f（x）取得最小值时x的值．

17. 难度：中等

一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体下底面上的数字分别为x₁、x₂，设O为坐标原点，点P的坐标为（x₁-3，x₂-3），记．
（Ⅰ）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．
（1）求证：PA⊥平面ABCDE；
（2）求二面角A-PD-E的大小；
（3）求点C到平面PDE的距离．

19. 难度：中等

某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获取最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销．经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q （件）与实际销售价x （元）满足关系Q=
（1）求总利润（利润=销售额-成本）y（元）与实际销售价x（件）的函数关系式；
（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大．

20. 难度：中等

如图，设抛物线c₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点，离心率e=的椭圆c₂与抛物线c₁在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆c₂的右焦点F₂，与抛物线c₁交于A₁、A₂，如果以线段A₁A₂为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*），若数列{a_n+1+λa_n}是等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：当k为奇数时，；
（Ⅲ）求证：（n∈N*）