2011年广西南宁市高三第三次适应性测试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部是（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2

2. 难度：中等

已知集合A={0，1，a}，B={a²，1}，A∩B={1}，A∪B={0，1，2，4}，则C_RB=（ ）
A．（-∞，1）∪（2，+∞）
B．（-∞，1）∪（4，+∞）
C．{x|x≠1且x≠4}
D．{x|x≠1且x≠2}

3. 难度：中等

已知实数a，b，则“ab≥2”是“a²+b²≥4”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁=2，前n项和为S_n，若，则等于（ ）
A．
B．3
C．4
D．8

6. 难度：中等

（C₄¹x+C₄²x²+C₄³x³+C₄⁴x⁴）²的展开式中所有项的系数和为（ ）
A．64
B．128
C．225
D．256

7. 难度：中等

若关于x的不等式的解集是，则实数k的取值范围是（ ）
A．（-1，1）
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=90°，AB丄側面BB₁C₁C，则直线C₁B与底面ABC所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（4）=0，若关于x的方程f（x）=k有3个不同实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．[2，4]
C．（0，4）
D．[0，4]

10. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0），F（c，0）是它的右焦点，经过坐标原点O的直线l与楠圆相交于A，B两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）在上单调，且，则f（0）等于（ ）
A．-2
B．-1
C．
D．

12. 难度：中等

在正方体八个顶点中任取四个顺次连接得到三棱锥，则所得三棱锥中至少有三个面都是直角三角形的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为5的球的两条弦AB、CD的长度分别等于8、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则MN的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）是偶函数，且当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1，则等于    ．

15. 难度：中等

若双曲线（a＞0，b＞0＞的渐近线与圆（x-2）²+y²=1相切，则此双曲线的渐近线方程为    ．

16. 难度：中等

已知向量，||=1．则函数y=的最大值为    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C对边分别是已知，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈Nⁿ）（I）求数列{a_n}的通项公式；（II）记b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前项和T_n．

19. 难度：中等

如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起如图2的位置，使AD=AE．
（I）求证：BC∥平面DAE；
（II）求四棱锥D-AEFB的体积；
（III）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．

20. 难度：中等

某学科的试卷中共有12道单项选择题．（每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，答对得5分，不答或答错得0分＞．某考生每道题都给出了答案，已确定有8道题答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这12道选择题，
求：（I）该考生得分为60分的概率；
（II）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．

21. 难度：中等

过点M（4，2）作X轴的平行线被抛物线C：x²=2py（p＞0）截得的弦长为（I ）求抛物线C的方程；（II）过拋物线C上两点A，B分别作抛物线C的切线l₁，l₂（i）若l₁，l₂交点M，求直线AB的方（ii）若直线AB经过点M，记l₁，l₂的交点为N，当时，求点N的坐标．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．（I）当a=1时，求f（x）的极值；（II）若函数f（x）在上恒大于零，求实数a的最小值．