2010年浙江省台州市醒民高中高考培优数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设f：x→|x|是集合A到集合B的映射，且集合B中的每一个元素都有原象，若A={-2，0，2}，则A∩B等于（ ）
A．{0}
B．{2}
C．{0，2}
D．{-2，0}

2. 难度：中等

若条件p：log₂x＜2，条件q：0，则¬p是¬q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

若函数y=f（x）的图象按向量平移后，得到函数y=f（x-1）+1的图象，则向量等于（ ）
A．（-1，1）
B．（1，-1）
C．（1，1）
D．（-1，-1）

4. 难度：中等

设a＞1，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（2，5）
D．

5. 难度：中等

已知向量，，（n∈N^*），若a₁=2，且，则数列{a_n}的前n项和S_n=（ ）
A．2n²+2n
B．n²+n
C．n²+n-1
D．

6. 难度：中等

设log₃^a=log₂^b=（）^c=（）^d＜，则a、b、c、d大小关系为（ ）
A．a＞b＞c＞d
B．a＞b＞d＞c
C．c＞d＞a＞b
D．d＞c＞a＞b

7. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为4π，则该函数的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．关于点（，0）对称
C．关于直线x=对称
D．关于直线x=对称

8. 难度：中等

设奇函数f（x）=的反函数为f^-1（x），则（ ）
A．f^--1（）＞f^--1（）
B．f^-1（3）＞f^-1（2）
C．f^--1（）＜f^-1（）
D．f^-1（3）＜f^-1（2）

9. 难度：中等

设函数f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（ω＞0）为奇函数，A={x|f（x）=0}，A∈[-1，1]中有2009个元素，则正数w取值范围为（ ）
A．[1004π，1005π）
B．[1004π，1005π]
C．[，]
D．[，]

10. 难度：中等

双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₁作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF₂垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

将等边△OAB的边AB与等腰直角△ABC的斜边AB对接，若=x+y，则x的取值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设x₁、x₂∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x₁*x₂=（ x₁+x₂）²-（ x₁-x₂）²，若x≥0，则动点P（x，）的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分

二、解答题

13. 难度：中等

与圆x²+y²-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是    ．

14. 难度：中等

已知△AOB，点P在直线AB上，且满足=2t+t（t∈R），则t=    ．

15. 难度：中等

等差数列{a_n}中a₂=9，s₄=40，若数列{}也为等差数列，则c=    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=，给出下列四个命题：
（1）当a＞0时，函数f（x）的值域为[0，+∞），
（2）对于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若＞0恒成立，则a∈[0，3）；  
（3）对于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，恒有＜f（）；  
（4）对于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，若不等式|f（x₁）-f（x₂）|＞t|x₁-x₂|恒成立，则t的最大值为0．其中正确的有    （只填相应的序号）

17. 难度：中等

已知函数f（x）=lg[1-a（）^x+（）^x]
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）在x∈（-2，1]上恒有意义，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

设=（2cosωx，sinωx），=（cosωx，2cosωx）（w＞0），函数f（x）=•的最小正周期为π：
（Ⅰ） 求f（x）的单调增区间
（Ⅱ） 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求的值．

19. 难度：中等

递增等比数列{a_n}中a₁=2，前n项和为S_n，S₂是a₂，a₃的等差中项：
（Ⅰ）求S_n及a_n；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=•+，{b_n}的前n项和为Tn，求的最小值．

20. 难度：中等

设函数f（x）=2sin（ωx+）+k（0＜ω＜π），将f（x）的图象按=（，-1）平移后得一奇函数，
（Ⅰ）求当x∈[0，2]时函数y=f（x）的值域
（Ⅱ）设数列{a_n}的通项公式为a_n=f（n）（n∈N⁺），S_n为其前N项的和，求S₂₀₁₀的值．

21. 难度：中等

已知a为实数，函数f（x）=（x²+1）（x+a）
（I）若f′（-1）=0，求函数y=f（x）在[-，1]上的最大值和最小值；
（II）若对于m取任何值，直线y=x+m都不是函数f（x）图象的切线，求a值的范围．

22. 难度：中等

8．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=．DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设=λ，试确定实数λ的取值范围．