2010年湖北省高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数在复平面内的对应点到原点的距离为（ ）
A．
B．
C．1
D．

2. 难度：中等

在（）ⁿ的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（ ）
A．-7
B．7
C．-28
D．28

3. 难度：中等

在正三棱锥P-ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，有下列四个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE；④平面PDE⊥平面ABC．其中正确的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

4. 难度：中等

已知命题P：不等式lg[x（1-x）+1]＞0的解集为{x|0＜x＜1}；命题Q：在三角形ABC中，∠A＞∠B是cos²（+）＜cos²（+）成立的必要而非充分条件，则（ ）
A．P真Q假
B．P且Q为真
C．P或Q为假
D．P假Q真

5. 难度：中等

已知双曲线C₁：的左准线为l，左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂的准线为l焦点是F₂，若C₁与C₂的一个交点为P，则|PF₂|的值等于（ ）
A．40
B．32
C．8
D．4

6. 难度：中等

将A、B、C、D、E五种不同的文件放入一排编号依次为1、2、3、4、5、6的六个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件．若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法共有（ ）
A．96种
B．97种
C．98种
D．99种

7. 难度：中等

已知函数y=x-1，令x=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，可得函数图象上的九个点，在这九个点中随机取出两个点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则P₁，P₂两点在同一反比例函数图象上的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设直线x+ky-1=0被圆O：x²+y²=2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x-y-1=0位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．不确定

9. 难度：中等

迄今为止，人类已借助“网络计算”技术找到了630万位的最大质数，小胡发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数．小胡欣喜万分，但小胡按得出的通项公式，在往后写出几个数发现它不是质数．他写出不是质数的一个数是（ ）
A．1643
B．1679
C．1681
D．1697

10. 难度：中等

若关于的方程x²-（a²+b²-6b）x+a²+b²+2a-4b+1=0的两个实数根x₁，x₂满足x₁≤0≤x₂≤1，则a²+b²+4a的最小值和最大值分别为（ ）
A．和5+4
B．-和5+4
C．-和12
D．-和15-4

二、解答题

11. 难度：中等

已知函数在R上连续，则a-b=    ．

12. 难度：中等

某次抽样调查结果表明，考生的成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的考生占考生总数的2.3%，则考生成绩在60至84分之间的概率为    ．（参考数据：Φ（1）=0.8413，Φ（2）=0.9770，Φ（3）=0.9987）

13. 难度：中等

设函数，则其值域为    ．

14. 难度：中等

已知||=2||≠0，且关于x的函数f（x）=x³+||x²+•x在R上有极值，则与的夹角范围为    ．

15. 难度：中等

已知函数．（1）那么方程f（x）=0在区间[-2009，2009]上的根的个数是    ；（2）对于下列命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）既有最大值又有最小值；③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴；④对于任意x∈（-1，0），函数f（x）的导函数f'（x）＜0．其中真命题的序号是    ．（填写出所有真命题的序号）

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求的值；
（2）若，求角C和△ABC的面积．

17. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求二面角A-A₁B-C的大小．

18. 难度：中等

据宜昌市气象部门统计，宜昌地区每年最低气温在-2C以下的概率为
（1）设ξ为宜昌地区从2005年到2010年最低气温在-2C以下的年数，求ξ的分布列．
（2）设η为宜昌地区从2005年到2010年首次遇到最低气温在-2C以下经过的年数，求η的分布列．
（3）求宜昌地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在-2C以下的概率．

19. 难度：中等

如图，已知椭圆C：+y²=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且•=0．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x²+bln（x+1）．
（1）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（2）求证：．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：其中k＞0，数列{b_n}满足：
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）是否存在正数k，使得数列{a_n}的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k．