2009年浙江省宁波市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁_UB={4，5，6}，则集合A∩B=（ ）
A．{1，2}
B．{5}
C．{1，2，3}
D．{3，4，6}

2. 难度：中等

某大型超市销售的乳类商品有四种：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不同的品牌，现从中抽取一个容量为20的样本进行三聚氰胺安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4

3. 难度：中等

已知定义在复数集C上的函数f（x）满足，则f（1+i）等于（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．2+i

4. 难度：中等

已知两个平面α、β，直线a⊂α，则“α∥β”是“直线a∥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

下列命题中是假命题的是（ ）
A．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβ
B．∀a＞0，函数f（x）=ln²x+lnx-a有零点
C．是幂函数，且在（0，+∞）上递减
D．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数

7. 难度：中等

已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

对于非零向量，定义运算“#”：，其中θ为的夹角．有两两不共线的三个向量，下列结论：
①若，则；②；
③若，则；④；
⑤．
其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

9. 难度：中等

已知x，y 满足，记目标函数z=2x+y 的最大值为a，最小值为b，则a+b=（ ）
A．1
B．2
C．7
D．8

10. 难度：中等

定义在R 上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[3，5]时f（x）=2-|x-4|，则（ ）
A．
B．f（sin1）＞f（cos1）
C．
D．f（sin2）＞f（cos2）

二、解答题

11. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x-y=0，则此双曲线的标准方程是     ．

12. 难度：中等

有四条线段长度分别为1，2，3，4，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成三角形的概率为    ．

13. 难度：中等

若过点A（a，a）可作圆x²+y²-2ax+a²+2a-3=0的两条切线，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积是    ．

15. 难度：中等

设向量 和 是夹角为60° 的两个单位向量，则向量 的模为    ．

16. 难度：中等

已知数组：，记该数组为：（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆）…，，则a_2009⁼    ．

17. 难度：中等

由9个正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列．给出下列结论：①第2列中的a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比数列；②第1列中的a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比数列；③a₁₂+a₃₂≥a₂₁+a₂₃；④若9个数之和等于9，则a₂₂≥1．其中正确的序号有    （填写所有正确结论的序号）．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a．b．c，且，，BC边上中线AM的长为．
（Ⅰ）求角A和角B的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

19. 难度：中等

如图，已知ABCD 为平行四边形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，点E 在CD 上，EF∥BC，BD⊥AD，BD 与EF 相交于N．现将四边形ADEF 沿EF 折起，使点D 在平面BCEF 上的射影恰在直线BC 上．
（Ⅰ） 求证：BD⊥平面BCEF；
（Ⅱ） 求折后直线DE 与平面BCEF 所成角的余弦值．

20. 难度：中等

已知正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），令b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）记T_n为数列的前n项和，是否存在实数a，使得不等式对∀n∈N₊恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数（a∈R ）
（Ⅰ） 若y=f（x） 在点P（1，f（1））处的切线方程为，求y=f（x）的解析式及单调递减区间；
（Ⅱ） 若y=f（x） 在[-2，0]上存在极值点，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆的长轴长为4，离心率为，F₁，F₂分别为其左右焦点．一动圆过点F₂，且与直线x=-1相切．
（Ⅰ） （ⅰ）求椭圆C₁的方程；（ⅱ）求动圆圆心轨迹C的方程；
（Ⅱ）在曲线C上有四个不同的点M，N，P，Q，满足与共线，与共线，且，求四边形PMQN面积的最小值．