2010年吉林省长春市农安实验中学高考数学冲刺试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|}，N={y|}，则M∩N=（ ）
A．∅
B．{3，0），（2，0）}
C．[-3，3]
D．{3，2}

2. 难度：中等

设i是虚数单位，复数z=tan45°-isin60°，则z²等于（ ）
A．
B．i
C．i
D．

3. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

4. 难度：中等

在2009年全运会女子百米冠军王静传出兴奋剂事件后，许多网民表达了自己的意见，有的网友进行了调查，在参加调查的4258名男性公民中有2360名认为其服用了兴奋剂，3890名女性公民中有2386人认为遭人陷害，在运用这些数据说明王静兴奋剂事件是否遭人陷害时用什么方法最有说服力？（ ）
A．平均数与方差
B．回归分析
C．独立性检验
D．概率

5. 难度：中等

若关于x的方程在区间（0，1）上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（-∞，1）∪（2，+∞）
D．（-∞，0）∪（1，+∞）

6. 难度：中等

一个空间几何体的三视图如图，则这个空间几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．10+8π

7. 难度：中等

如右图，是一个程序框图，则输出结果中S=（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；
④若m∥α，α∩β=n，则m∥n，
其中不正确的命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

9. 难度：中等

设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c （b≠1），且、都是方程的根，则△ABC（ ）
A．是等腰直角三角形
B．是等腰三角形但不是直角三角形
C．是直角三角形但不是等腰三角形
D．不是等腰三角形，也不是直角三角形

11. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的一个零点为x=1，另外两个零点可分别作为一椭圆、一双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）
A．
B．（-2，-1）
C．
D．（-∞，-2）∪（-1，+∞）

12. 难度：中等

已知，已知数列{a_n}满足0＜a_n≤3，n∈N^*，且a₁+a₂+…+a₂₀₁₀=670，则f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₀）有（ ）
A．最大值6030
B．最大值6027
C．最小值6027
D．最小值6030

二、解答题

13. 难度：中等

在（1+x）³+（1+）²+（1+）的展开式中，x的系数为    ． （用数字作答）

14. 难度：中等

当实数x满足约束条件（其中k为小于零的常数）时，的最小值为2，则实数k的值是     ．

15. 难度：中等

为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

	理科	文科	合计
男	13	10	23
女	7	20	27
合计	20	30	50

已知P（K²≥3.841）≈0.05，P（K²≥5.024）≈0.025．根据表中数据，得到K²的观测值k=≈4.844．则可以有    %的把握认为选修文科与性别有关系．

16. 难度：中等

某同学在研究函数（x∈R）时，分别给出下面几个结论：①F（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；②函数f （x）的值域为（-1，1）；③若x₁≠x₂，则一定有f （x₁）≠f （x₂）；④函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点．其中正确结论的序号有     ．

17. 难度：中等

如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？

18. 难度：中等

长春市某中学高三（1）班40名学生在一次数学测验中，成绩全部介于100分与150分之间，将测验成绩按如下方式分成五组：第一组[100，110）；第二组[110，120），…，第五组[140，150]．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（I）若成绩在130分以上为优秀，求该班在这次测验中成绩优秀的人数；
（II）估计该班在这次测验中的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）该班有3名学生因故未参加考试，如果他们参加考试，且彼此之间的成绩不受影响，以已知样本数据的频率作为这3名同学成绩的概率．试求这3名学生中至少有1人成绩不低于130分的概率．

19. 难度：中等

如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起如图2的位置，使AD=AE．
（I）求证：BC∥平面DAE；
（II）求四棱锥D-AEFB的体积；
（III）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．

20. 难度：中等

已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=．
（1）求椭圆E的方程；
（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l₁、l₂，切线l₁与l₂相交于点M．证明：AB⊥MF；
（3）椭圆E上是否存在一点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B（A′、B′为切点），使得直线A′B′过点F？若存在，求出抛物线C与切线M′A′、M′B所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．

21. 难度：中等

已知函数，令（m∈R）．
（1）若∃x＞0，，使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（2）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对∀x₁，x₂∈[1，m]，恒有H（x₁）-H（x₂）＜1．

22. 难度：中等

选做题
如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H．求证：
（Ⅰ）C，D，F，E四点共圆；
（Ⅱ）GH²=GE•GF．

23. 难度：中等

已知曲线（θ为参数），曲线（t为参数）．
（1）若α=，求曲线C₂的普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）曲线C₁和曲线C₂的交点记为M，N，求|MN|的最小值．

24. 难度：中等

已知A={x|x²-11x+30≤0}，若对任意的x∈A都有不等式|x-a|≤1恒成立，求a的范围．