2010年浙江省杭州市教考联谊学校高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-1=0}，则下列式子表示正确的有（ ）
①1∈A；②{-1}∈A；③∅⊆A；④{1，-1}⊆A．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

2. 难度：中等

已知向量a=（1，1），b=（2，x），若a+b与4b-2a平行，则实数x的值是（ ）
A．-2
B．0
C．1
D．2

3. 难度：中等

在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC大小为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

二项式（2-）⁶的展开式中，常数项是（ ）
A．20
B．-160
C．160
D．-20

5. 难度：中等

函数f（x）=sin（-x），则要得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向右平移个单位

6. 难度：中等

已知函数f（x）满足：，则f（2010）=（ ）
A．2
B．-3
C．
D．

7. 难度：中等

从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黒球与都是红球
B．至少有一个黒球与都是黒球
C．至少有一个黒球与至少有1个红球
D．恰有1个黒球与恰有2个黒球

8. 难度：中等

若（x+m）²ⁿ⁺¹与（mx+1）2ⁿ（n∈N^*，m≠0）的展开式中含xⁿ的系数相等，则实数m的取值范围是（ ）
A．（]
B．
C．（-∞，0）
D．（0，+∞）

9. 难度：中等

（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如果有穷数列a₁，a₂，…，a_n（n∈N^*）满足条件：a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1，（i=1，2，…，n）我们称其为“对称数列”．例如：数列1，2，3，3，2，1 和数列1，2，3，4，3，2，1都为“对称数列”．已知数列{b_n}是项数不超过2m（m＞1，m∈N^*）的“对称数列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次为该数列中连续的前m项，则数列{b_n}的前2009项和S₂₀₀₉所有可能为：①2²⁰⁰⁹-1  ②2（2²⁰⁰⁹-1）③3•2^m-1-2^2m-2010-1  ④2^m+1-2^2m-2009-1；其中正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4

二、解答题

11. 难度：中等

一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为    ．

12. 难度：中等

复数在复平面内，z所对应的点在第    象限．

13. 难度：中等

设f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，x∈R），则f（0）=0是f（x）为奇函数的    条件．

14. 难度：中等

如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是，则a=    ．

15. 难度：中等

在平面几何里，有：“若△ABC的三边长分别为a，b，c内切圆半径为r，则三角形面积为S_△ABC=（a+b+c）r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体A-ACD的四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄内切球的半径为r，则四面体的体积为    ．

16. 难度：中等

P是双曲线的右支上一动点，F是双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为    ．

17. 难度：中等

《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某人一月份应交纳此项税款135元，则他的当月工资、薪金的税后所得是    元．

全月应纳税所得额	税率
不超过500元的部分	5%
超过500元至2000元的部分	10%
超过2000元至5000元的部分	15%
…	…

18. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若 sinα+f（α）=的值．

19. 难度：中等

2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：

福娃名称	贝贝	晶晶	欢欢	迎迎	妮妮
数    量	2	2	2	1	1

从中随机地选取5只．
（1）求选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率；
（2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；…．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列和期望值．（结果保留一位小数）

20. 难度：中等

如图，M、N、P分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的点．
（1）若=，求证：无论点P在D₁D上如何移动，总有BP⊥MN；
（2）若D₁P：PD=1：2，且PB⊥平面B₁MN，求二面角M-B₁N-B的余弦值；
（3）棱DD₁上是否总存在这样的点P，使得平面APC₁⊥平面ACC₁？证明你的结论．

21. 难度：中等

设F₁、F₂是椭圆（a＞b＞0）的左右焦点，A为上顶点，椭圆上的点N满足：=+λ（λ∈R）．
（1）求实数λ的取值范围；
（2）设λ=，过点N作椭圆的切线分别交左、右准线于P、Q，直线NF₁、NF₂分别交椭圆于C、D两点．是否存在实数m，使=m（+）？若存在，求出实数m的值，否则说明理由；
（3）在（2）的基础上猜想：是否存在实数n，使=n（+）？若存在写出n的值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+lnx．
（I）已知α是方程xf（x）-x³=2009的根，β是方程xe^x=2009的根，求α•β的值．
（II）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）图象在函数g（x）=x³图象的下方；
（Ⅲ）设函数h（x）=f′（x），求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．