2010年山东省青岛市高三质量检测数学试卷3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={0，2，4，8}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N等于（ ）
A．{2，4，8，16}
B．{0，2，4，8}
C．{2，4，8}
D．{0，4，8}

2. 难度：中等

若复数（a∈R为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．4
B．-4
C．1
D．-1

3. 难度：中等

已知在等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₄+a₆=，则等比数列{a_n}的公比q的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．8

4. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）=a^x+b的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知两条不同直线l₁和l₂及平面α，则直线l₁∥l₂的一个充分条件是（ ）
A．l₁∥α且l₂∥α
B．l₁⊥α且l₂⊥α
C．l₁∥α且l₂⊄α
D．l₁∥α且l₂⊂α

6. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+log_ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为（log_a2）+6，则a的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4

7. 难度：中等

设函数的导函数的最大值为3，则函数f（x）图象的对称轴方程为（ ）
A．
B．x=
C．x=
D．x=

8. 难度：中等

一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设F₁，F₂是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF₁|=4|PF₂|，则△PF₁F₂的面积等于（ ）
A．
B．
C．24
D．48

10. 难度：中等

已知直线x-y+a=0与圆x²+y²=1交于A、B两点，且向量、满足|+|=|-|，其中O为坐标原点，则实数a的值为（ ）
A．0
B．-1
C．1
D．±1

11. 难度：中等

设（其中e为自然对数的底数），则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

若（x-a）⁸=a+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸，，且a₅=56，则a+a₁+a₂+…+a₈=（ ）
A．0
B．1
C．2⁸
D．3⁸

二、解答题

13. 难度：中等

已知点落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则的值为    ．

14. 难度：中等

若正三棱锥的主视图与俯视图如图（单位cm），则左视图的面积为    cm²．

15. 难度：中等

当实数x满足约束条件（其中k为小于零的常数）时，的最小值为2，则实数k的值是     ．

16. 难度：中等

若关于x的不等式ax²-|x|+2a＜0的解集为∅，则实数a的取值范围为    ．

17. 难度：中等

设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量，，且．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若向量，试求的取值范围．

18. 难度：中等

某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．

活动次数	1	2	3
参加人数	5	15	20

（Ⅰ）从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率；
（Ⅱ）从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起如图2的位置，使AD=AE．
（I）求证：BC∥平面DAE；
（II）求四棱锥D-AEFB的体积；
（III）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f'（x）=-2x+7，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（I）求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（II）令，其中n∈N^*，求{nb_n}的前n项和．

21. 难度：中等

已知函数（a，b，c∈R）在点（1，f（1））处的切线斜率为，且a＞2c＞b．
（1）证明：．
（2）证明：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个极值点．

22. 难度：中等

已知动圆M过定点P（0，m）（m＞0），且与定直线l₁：y=-m相切，动圆圆心M的轨迹为C，直线l₂过点P交曲线C于A，B两点．
（1）求曲线C的方程．（2）若l₂交x轴于点S，且，求l₂的方程．（3）若l₂的倾斜角为30°，在l₁上是否存在点E使△ABE为正三角形？若能，求点E的坐标；若不能，说明理由．