2010年湖北省武汉市武昌区高三五月调考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a∈R，则“复数z=a²-1+（a+1）i纯虚数”是“a=1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

采用系统抽样方法从编号为1-50的50名同学中选取5名同学做一个问卷调查，则确定所选取的5个同学的编号可能是（ ）
A．5，10，15，20，25
B．3，13，23，33，43
C．1，2，3，4，5
D．2，4，8，16，22

3. 难度：中等

将函数y=sin2x的图象按向量平移，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y=cos2
B．y=2sin²
C．
D．y=2cos²

4. 难度：中等

某企业近三年的产值连续增长，这三年的增长率分别为x，y，z，则这三年平均增长率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

某中学高三年级有三种层次的班级：A类班5个、B类班6个、C类班4个，一次考试后从中任取4个班进行质量分析，则每种层次的班都取到的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+|x|-2，则满足f（2x-1）＜f的实数x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

{a_n}为等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，S₆＞S₇＞S₅，则下列结论中不正确的是（ ）
A．d＜0
B．S₁₁＞0
C．S₁₂＜0
D．S₁₃＜0

8. 难度：中等

在棱长均为2的正四棱锥P-ABCD中，点E为PC的中点，则下列命题正确的是（ ）

A．BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为
B．BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为
C．BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角大于30°
D．BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°

9. 难度：中等

过点P（0，-a）作直线l与抛物线C：x²=4ay（a＞0）相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则直线l的斜率为（ ）
A．±3
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数，若f（m）+f（n）=1，则f的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=x⁵+5x⁴+10x³-10x²+5x+1的反函数f^-1（x）=    ．

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

由3、4、5、6、7组成的无重复数字且各位相邻数字均互质的不同五位数的个数为    ．

15. 难度：中等

△ABC的面积为1，，P为△ABC内一点，且，则△BCP的面积为    ．

16. 难度：中等

锐角三角形ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量，且
（1）求角B的大小；
（2）若b=1，求a+c的取值范围．

17. 难度：中等

某单位选派甲、乙、丙三人组队参加“2010上海世博会知识竞赛”，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是，甲、丙两人都答错的概率是，乙、丙两人都答对的概率是，规定每队只要有一人答对此题则记该队答对此题．
（Ⅰ）求该单位代表队答对此题的概率；
（Ⅱ）此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错除该题不得分外还要倒扣去10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其它题没有影响，求该单位代表队必答题得分的期望（精确到1分）．

18. 难度：中等

已知矩形ABCD中，AB=，AD=1，将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上．
（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；
（2）若E为线段BD的中点，求二面角B-AC-E的大小．

19. 难度：中等

已知A（-3，0），B（3，0），三角形PAB的内切圆的圆心M在直线x=2上移动．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）某同学经研究作出判断，曲线C在P点处的切线恒过点M，试问：其判断是否正确？若正确，请给出证明；否则说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+bx²+cx，x∈R的图象与x轴相切于非原点的一点，且函数的极小值为-4．
（1）求b，c的值；
（2）对a＜0，记F（a）为f（x）在[a，0]上的最小值，若F（a）≤λa恒成立，试求实数λ的取值范围；
（3）求证：当-1＜x＜0时，f（x）＜4sinx．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足，且对任意m，n∈N^*，有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足，试求{c_n}的通项公式并判断：是否存在正整数M，使得对任意n∈N^*，c_n≤c_M恒成立．
（3）若数列{d_n}满足，求证：当n≥2时，．