2011年辽宁省沈阳市东北育才学校高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（ ）
A．[-2，2]
B．[-2，1）
C．（1，2]
D．[-2，+∞）

2. 难度：中等

如果（m∈R，i表示虚数单位），那么m=（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．0

3. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是（ ）

A．8
B．6
C．4
D．3

4. 难度：中等

若m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m∥β，α∥β，则m∥α
D．若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α

5. 难度：中等

设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a₁，a₂，a₃}是S的子集，且a₁，a₂，a₃满足a₁＜a₂＜a₃，a₃-a₂≤6，那么满足条件的集合A的个数为（ ）
A．78
B．76
C．84
D．83

6. 难度：中等

已知函数f（x）=sinωx+cosωx，如果存在实数x₁，使得对任意的实数x，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₁+2011）成立，则ω的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

数列{a_n}是等差数列，若a₁₀+a₁₁＜0，且a₁₀•a₁₁＜0，它的前n项和S_n有最大值，那么当S_n取得最小正值时，n=（ ）
A．10
B．11
C．19
D．20

8. 难度：中等

由约束条件，确定的可行域D能被半径为1的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围是（ ）
A．（-∞，]
B．[，+∞）
C．（0，]
D．[，1]

9. 难度：中等

若定义在R上的偶函数f（x）在（-∞，0]上是增函数，且，那么不等式在上的解集为（ ）
A．[-，-）∪（-，）∪（，]
B．[-，-）∪（，]
C．[-，-）∪（-，）
D．[-，-）∪（-，）∪（，]

10. 难度：中等

已知m、n、s、t为正数，m+n=2，=9其中m、n是常数，且s+t最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）
A．x-2y+1=0
B．2x-y-1=0
C．2x+y-3=0
D．x+2y-3=0

11. 难度：中等

M为△ABC内一点，过点M的一直线交AB边于P，交AC边于点Q，则条件p：“”是条件q：“M点是△ABC的重心”成立的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

12. 难度：中等

已知x₁是方程x•2^x=3的根，x₂是方程xlog₂x=3的根，则x₁x₂的值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．10

二、解答题

13. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD的体积为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，AB=4，AC=2，∠BAC=120°，点D是线段BC上的动点，则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的导函数是g（x），设x₁，x₂是方程g（x）=0的两根．若a+b+c=0，g（0）•g（1）＜0，则|x₁-x₂|的取值范围为    ．

16. 难度：中等

设直线系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是    （写出所有真命题的代号）．

17. 难度：中等

△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B-A）=cosC．
（1）求A，C；
（2）若S_△ABC=，求a，c．

18. 难度：中等

有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面（编号为①②③④⑤⑥）上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5．若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用ξ表示更换费用．
（1）求①号面需要更换的概率；
（2）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；
（3）写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

19. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-中，已知CC₁=BB₁=2，BC=1，，AB⊥侧面BB₁C₁C，
（1）求直线C₁B与底面ABC所成角正切值；
（2）在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁（要求说明理由）．
（3）在（2）的条件下，若，求二面角A-EB₁-A₁的大小．

20. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF₁•PF₂的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=-x（0＜x＜）；
（1）讨论函数f（x）的单调性并求极值；
（2）若x∈（0，]，求g（x）=的最大值．

22. 难度：中等

如图，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连接CF交AB于E点．
（I）求证：DE²=DB•DA．
（II）若BE=1，DE=2AE，求DF的长．

23. 难度：中等

（选做题）
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）
（I）求圆心C的极坐标；
（II）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．

24. 难度：中等

自选题：不等式选讲：已知|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1．
（I）求证：2＜x₁+x₂＜6，|x₁-x₂|＜2；
（II）若f（x）=x²-x+1，求证：|x₁-x₂|＜|f（x₁）-f（x₂）|＜5|x₁-x₂|．