2011年江西省高考数学仿真押题卷01（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a∈R，且（1+ai）（2-i）为纯虚数，则a的值是（ ）
A．-2
B．
C．
D．2

2. 难度：中等

已知角α在第一象限且cosα=，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．-

3. 难度：中等

已知正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD-A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

根据程序框图，若输出y的值是4，则输入的实数x的值为（ ）

A．1
B．-2
C．1或2
D．1或-2

5. 难度：中等

已知=（x，-1）与=（1，），则不等式•≤0的解集为（ ）
A．{x|x≤-1或x≥1}
B．{x|-1≤x＜0或x≥1}
C．{x|x≤-1或0≤x≤1}
D．{x|x≤-1或0＜x≤1}

6. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁₅=10π，则tana₈的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

下列判断错误的是（ ）
A．“am²＜bm²”是“a＜b”的充要条件
B．命题“若q则p”与命题“若非p则非q”互为逆否命题
C．对于命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0，则￢p为∀A∈R，均有x²+x+1≥0
D．命题“∅⊆{1，2}或4∉{1，2}”为真命题

8. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-3，+∞），部分函数值如表所示，其导函数的图象如图所示，若正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．（1，4）
D．

9. 难度：中等

设函数在区间（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，-log₃2）
B．（0，log₃2）
C．（log₃2，1）
D．（1，log₃4）

10. 难度：中等

已知抛物线y²=4x与椭圆x²+=1（a＞1）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若∠AFB=120°，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₃=6，前三项和S₃=4xdx，则公比q的值为    ．

12. 难度：中等

已知一个棱长为2cm的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为    ．

13. 难度：中等

¹⁰=a+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，其中a_k （k=0，1，2，…，9，10）都是常数，则a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=    ．

14. 难度：中等

设圆O：x²+y²=1，直线l：x+2y-4=0，点A∈l，若圆O上存在点B，且∠OAB=30°（O为坐标原点），则点A的纵坐标的取值范围是    ．

15. 难度：中等

（选做题，考试注意：请在下列两题中任选一题作答，如多做，则按所做第一题评分）
A、下列图形θ=0（ρ＞0），θ=（ρ＞0），（θ为参数）围成的面积是    ．
B、不等式|2x-log₂x|＜2x+|log₂x|成立，则x∈    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和Sn=2a_n-2 ⁿ⁺¹．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若不等式a _n+1＜（5-λ）a_n恒成立，求λ的取值范围．

17. 难度：中等

为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架，三角形支架形状如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？

18. 难度：中等

某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．

活动次数	1	2	3
参加人数	5	15	20

（Ⅰ）从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率；
（Ⅱ）从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图：直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是边长为2a的菱形，∠BAD=60°，E为AB中点，二面角A₁-ED-A为60°．
（I）求证：平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁；
（II）求二面角A₁-ED-C₁的余弦值；
（III）求点C₁到平面A₁ED的距离．

20. 难度：中等

直角三角形ABC中，∠C=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若一过点P（3，0）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且，问在x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x-1-alnx（a∈R））．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，求实数a的值；
（2）求证：f（x）≥0恒成立的充要条件是a=1；
（3）若a＜0，且对任意x₁，x₂∈（0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|-|，求实数a的取值范围．