2011年北京市高考数学零模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部为      （ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

2. 难度：中等

集合A={x|0.1^lgx≥1}中的整数的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数多个

3. 难度：中等

设、是单位向量，且•=0，若=-2与=的夹角不超过90°，则λ的最大值是 （ ）
A．
B．
C．-2
D．不存在

4. 难度：中等

若互不相等的实数a，b，c成等差数列，ac，ab，bc成等比数列，且a+b+c=6，则a=（ ）
A．-4
B．4
C．8
D．-8

5. 难度：中等

在△ABC中，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的                    （ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

6. 难度：中等

已知（1+x）+（1+x）²+…+（1+x）ⁿ=a ₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，若a₁+a₂+…+a_n-1=29-n，那么自然数n的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

7. 难度：中等

已知定直线l与平面α成45°，点P是面α内的一动点，且点P到直线l的距离为2，则动点P的轨迹是 （ ）
A．圆
B．椭圆
C．椭圆的一部分
D．抛物线一部分

8. 难度：中等

若由三个数字1、2、3组成的五位数中，1、2、3都至少出现一次，则这样的五位数的个数为（ ）
A．150
B．180
C．236
D．240

二、解答题

9. 难度：中等

如图，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC=2，PA=8，则cos∠ACB的值为     ．

10. 难度：中等

在极坐标系中，定点A，点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是    ．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₃=7，对于任意正整数n，m，p，q（p≠q），总有=成立．则a₄=    ，通项a_n=    ．

12. 难度：中等

已知P（x，y）满足，Q是x轴上一个动点，定点R（2，3），则|PQ|+|QR|可以取到的最小值是    ．

13. 难度：中等

设a＞1，若对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a²]满足方程log_ax+log_ay=3，这时a的取值集合为    ．

14. 难度：中等

设代数方程a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n个不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，则，比较两边x²的系数得a₁=    ；若已知展开式对x∈R，x≠0成立，则由于有无穷多个根：±π，±2π，…，+±nπ，…，于是，利用上述结论可得=    ．

15. 难度：中等

设锐角△ABC中，2sin²A-cos2A=2．
（1）求∠A的大小；
（2）求（cosB+sinB）²+sin2C的取值范围．

16. 难度：中等

2010年上海世博会的志愿者中有这样一组志愿者：有几个人只通晓英语，还有几个人只通晓俄语，剩下的人只通晓法语，已知从中任抽一人恰是通晓英语的人的概率为，恰是通晓俄语的人的概率为，且通晓法语的人数不超过3人．
（I）求这组志愿者的人数；
（II）现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1名，若甲通晓俄语，乙通晓法语，求甲和乙不全被选中的概率；
（III）现从这组志愿者中用抽签法选出3人，求3人所会的语种数X的分布列．

17. 难度：中等

如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，∠DAB=90°，面PAC⊥平面ABCD，，M是PD的中点．
（1）求证：MC∥平面PAB；
（2）求CM与平面PBC所成角的正弦值；
（3）已知点Q是棱PD上的一点，若二面角Q-AC-D为45°，求．

18. 难度：中等

已知函数（a≠0）
（1）若函数f（x）在点（2，f（2））处的切线为9x+4y+m=0，求实数m的值；
（2）已知函数f（x）在（-1-a，+∞）上为单调函数，求实数a的取值范围，并指出单调性．

19. 难度：中等

以F₁（0，-1），F₂（0，1）为焦点的椭圆C过点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

对于正整数n，数列a₁，a₂，…，a_k在满足下列条件下称为关于（1，2，3，…，n）的万能数列：自然数1，2，3，…，n的任意一个排列都能从数列a₁，a₂，…，a_k中去掉一些项后得到．
（1）构造一个有n²项的关于（1，2，3，…，n）的万能数列的例子，并证明；
（2）构造一个有n²-n+1个项的关于（1，2，3，…，n）的万能数列的例子并证明；
（3）判断数列A：是否是关于（1，2，3，…，n）的万能数列，并证明你的结论．