2010年重庆市重点高中高考数学模拟试卷9（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若z的共轭复数为，（i为虚数单位），则f（3+2i）等于（ ）
A．3-i
B．3+i
C．3+3i
D．3-2i

2. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃=7a₁，则数列{a_n}的公比q的值为（ ）
A．2
B．3
C．2或-3
D．2或3

3. 难度：中等

已知集合A={a，b，c}，B={1，2，3}，映射f：A→B满足f（a）+f（b）+f（c）=7，则这样的映射个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

4. 难度：中等

[文]已知f（x）=a^x，g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），若f（3）•g（3）＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知函数在R上连续，则a-b=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1

6. 难度：中等

设A、B两地位于北纬α的纬线上，且两地的经度差为90°，若地球的半径为R千米，且时速为20千米的轮船从A地到B地最少需要小时，则α为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知A为xoy平面内的一个区域．甲：点（a，b）∈；乙：点（a，b）∈A．如果甲是乙的必要条件，那么区域A的面积（ ）
A．最小值为2
B．无最大值
C．最大值为2
D．最大值为1

8. 难度：中等

若一个四位数字的数，前两位数字之积恰好等于后面两位数，则称这个数为“吉积数”．如“0900”，“1909”，“9218”等都为“吉积数”．某地汽车牌照某批次的号码前两位是固定的英文字母，后面是四位数字，丁先生买了新车，给汽车上牌照时最多有三次选择机会（有放回地随机选择号码）．丁先生选号时刚好是选这批号码的第一位，如果他想选一个末尾数字没有4的“吉积数”，则丁先生成功的最大概率最接近的值为（ ）
A．3%
B．1%
C．0.88%
D．2.64%

9. 难度：中等

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y²=2px（p＞0），弦AB过焦点，△ABQ为其阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（ ）
A．
B．p²
C．2p²
D．4p²

10. 难度：中等

若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（ ）
A．24
B．48
C．72
D．78

二、解答题

11. 难度：中等

若sin（-α）=，则cos（-2α）=    ．

12. 难度：中等

设直线y=ax+3与圆x²+y²-2x-4y+1=0相交于A，B两点，且，则a=    ．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1+1，则a₁C_n+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ=   

14. 难度：中等

向量，，满足++=0，⊥，（-）⊥，M=++，则M=    ．

15. 难度：中等

定义在R上的偶函数y=f（x）满足：
①对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）
②f（-5）=-1；
③当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，都有＞0则
（1）f（2009）=    ；
（2）若方程f（x）=0在区间[a，6-a]上恰有3个不同实根，实数a的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知m=，n=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若函数f（x）=m•n，且f（x）的对称中心到f（x）对称轴的最近距离不小于
（Ⅰ）求ω的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2，当ω取最大值时，f（A）=1，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=，点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙）．
（1）求证：AB∥平面DNC；
（2）当DN的长为何值时，二面角D-BC-N的大小为30°？

18. 难度：中等

一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得-1分．
（Ⅰ）求拿4次至少得2分的概率；
（Ⅱ）求拿4次所得分数ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元（其中t为常数，且2≤t≤5），设该工厂每件玩具的出厂价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件．
（1）求该工厂的日利润y（元）与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；
（2）当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．

20. 难度：中等

设圆Q过点P（0，2），且在x轴上截得的弦RG的长为4．
（1）求圆心Q的轨迹E的方程；
（2）过点F（0，1），作轨迹E的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB、CD的中点分别为M，N，试判断直线MN是否过定点？并说明理由．

21. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px的准线方程，C与直线ℓ₁：y=x在第一象限相交于点P₁，过P₁作C的切线m₁，过P₁作m₁的垂线g₁交x轴正半轴于点A₁，过A₁作ℓ₁的平行线ℓ₂交抛物线C于第一象限内的点P₂，过P₂作抛物线C₁的切线m₂，过P₂作m₂的垂线g₂交x轴正半轴于点A₂，…，依此类推，在x轴上形成一点列A₁，A₂，A₃，…，A_n（n∈N*），设点A_n的坐标为（a_n，0）．
（Ⅰ）试探求a_n+1关于a_n的递推关系式；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求证：．