2010年安徽省合肥市高校附中高三联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数的虚部是（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1

2. 难度：中等

设集合M={x|（x+6）（x-1）＜0}，N={x|2^x＜1}，则M∩N=（ ）
A．{x|2＜x＜3}
B．{x|0＜x＜1}
C．{x|x＜-6}
D．{x|-6＜x＜0}

3. 难度：中等

已知向量，，下面关于的说法中正确的是（ ）
A．函数f（x）最小正周期是π
B．函数f（x）在区间为增函数
C．函数f（x）的图象关于直线对称
D．函数f（x）图象可由函数y=2sinx向右平移个单位长度得到

4. 难度：中等

已知a、b、c是三条互不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题：①a∥b，b∥α则，a∥α②a、b⊂α，a∥β，b∥β则α∥β ③a⊥α，a∥β，则α⊥β；④a⊥α，b∥α，则a⊥b．其中正确命题的个数（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

5. 难度：中等

给出下列四个命题，其中真命题的是（ ）
A．命题“若x²=4，则x=2或x=-2”的逆否命题是“若x≠2或x≠-2则x²≠4”
B．“a＞b”是“aⁿ＞bⁿ（n∈N₊）”成立的必要不充分条件
C．若命题p：所有幂函数的图象都不过第四象限；命题q：所有抛物线的离心率都为1，则命题p∧q为真
D．若命题p：∀x∈R，x²-2x+3＞0，则¬p：∃x∈R，x²-2x+3＜0

6. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的y值的范围为[0，4]，则输入的x的值的范围为（ ）

A．[-1，2]
B．[-1，3]
C．[0，2]
D．[-2，2]

7. 难度：中等

在边长为3的正三角形ABC中，点M、N分别满足，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

过抛物线y²+8x=0的焦点且倾斜角为45°的直线l与曲线C：x²+y²-2y=0相交所得的弦的弦长为（ ）
A．
B．2
C．4
D．1

9. 难度：中等

从甲、乙、丙、丁四个人中任选两人，分别担任班长、副班长，甲、乙两人都不担任班长的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[-1.5]=-2，[2.5]=2，定义函数{x}=x-[x]，则给出下列四个命题：①函数{x}的定义域是R，值域为[0，1]；②方程{x}=有无数个解；③函数{x}是周期函数；④函数{x}是增函数．其中正确的序号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③

二、解答题

11. 难度：中等

甲、乙两个小组各5名同学数学测试成绩的茎叶图如图所示：记甲、乙两组中数学测试成绩的标准差分别为S_甲，S_乙，则S_甲，S_乙的大小关系为    ．

12. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁+a₃=10，a₆=11，则S₇=    ．

13. 难度：中等

实数x，y满足，则z=x+y的取值范围为    ．

14. 难度：中等

已知a是函数f（x）=x-1的零点，b=lg4+2lg5+3，正数m，n满足m+n=2，则的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E、F、G分别是AB、BC、B₁C₁的中点．下列说法正确的是     （写出所有正确命题的编号）．
①P在直线EF上运动时，GP始终与平面AA₁C₁C平行；
②点Q在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁QC的体积不变；
③点M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，则点M的轨迹是一条的直线；
④以正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱AA₁异面的有10条．

16. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S_△ABC，且S_△ABC=bccosA
（1）求sin²A+sinAcosA的值（2）若b²=a²+c²-ac，b=，求c．

17. 难度：中等

某医院有医生与护士共200人，现要用分层抽样的方法组成一个20人的医疗小组赴某灾区救援，该医院的某个科室被抽调3名医生和2名护士．
（1）求这个科室的医生与护士人员总数；
（2）为实际救助需要，组织者决定组成一个两人的特殊医疗小分队，成员由该科室人员随机抽取，求这个特殊的医疗小分队由一名医生与一名护士组成的概率．

18. 难度：中等

2010年上海世博会中国馆的建筑外观以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为主题，代表中国文化的精神与气质．如果将中国馆的下方架空层看成一个长方体，上方看成一个四棱台，则其直观图、主视图和侧视图近似如下图（精确到10m）．
（1）画出几何体的俯视图；
（2）求证：EA'⊥BD
（3）计算该几何体的体积．

19. 难度：中等

设函数．
（1）当p=2且m=5时，求函数f（x）在（1，+∞）的极值；
（1）若m=2且f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围．

20. 难度：中等

已知离心率为的椭圆C₁：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，圆C₂：x²+y²=b²与直线l：相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如果直线l绕着它与x轴的交点旋转，且与椭圆相交于P₁、P₂两点，设直线P₁F₁与P₂F₁的斜率分别为k₁和k₂，求证：k₁+k₂=0．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2-a_n（n∈N^*），函数，数列{b_n}满足b_n+1=f′（b_n），（n∈N^*），b₁=2，，设{b_n}的前n项和为T_n，，A_n=c₁+c₂+…+c_n．
（1）求{a_n}{b_n}的通项公式；
（2）试比较A_n与B_n的大小，并说明理由．