2010年江西省宜春市上高二中、新余市钢铁中学高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=是实数，则 sin3θ=（ ）
A．0
B．
C．1
D．-1

2. 难度：中等

等差数列{a_n} 的前n项和为S_n，2a₈=6+a₁₁，则S₉=（ ）
A．27
B．36
C．45
D．54

3. 难度：中等

同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若a＞0，b＞0，且点（a，b）在过点（1，-1）和（2，-3）的直线上，则S=2-4a²-b²的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数f（x）=的值域为（ ）
A．[1，2]
B．[]
C．[）
D．（）

6. 难度：中等

函数的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

椭圆C₁：的左准线为l，左、右焦点分别为F₁、F₂，抛物线C₂的准线为l，焦点为F₂，C₁与C₂的一个交点为P，则|PF₂|的值等于（ ）
A．
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

如图，在△ABC中，，，则过点C，以A、H为两焦点的双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．3
C．
D．

10. 难度：中等

二面角α-l-β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB=2在平面β内，CD⊥l于D，CD=3，BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为（ ）
A．6
B．
C．
D．5

11. 难度：中等

设函数f（x）=，g（x）是二次函数，若f[g（x）]的值域是[0，+∞），则g（x）的值域是（ ）
A．（-∞，-1]∪[1，+∞）
B．（-∞，-1]
C．[0，+∞）
D．（-∞，-1]∪[0，+∞）

12. 难度：中等

以长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的六条面对角线为棱，可以构成四面体A-B₁CD₁，A₁-BC₁D，若这两个四面体组合起来的体积为1（重合部分只算一次），则长方体的体积（ ）
A．2
B．
C．3
D．4

二、解答题

13. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=3S_n（n≥2），则的值是    ．

14. 难度：中等

点G是△ABC的重心，，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则最小值为    ．

15. 难度：中等

设直线l与球O有且仅有一公共点P，从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆O₁和圆O₂的半径1和2，若这两个半平面α，β所成二面角为120，则球O的表面积为    ．

16. 难度：中等

考察以下命题：
①若|a|＜1，则无穷数列{a_n} n∈N^*，各项的和为
②函数y=在R上连续可导；
③函数y=在R上连续
④函数y=x³+3ax²+3bx在x=0个有极值的充要条件是a≠0，b=0
其中真命题的序号为    ．

17. 难度：中等

已知△ABC中，满足，a，b，c分别是△ABC的三边．
（1）试判定△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围．
（2）若不等式a²（b+c）+b²（c+a）+c²（a+b）≥kabc对任意的a，b，c都成立，求实数k的取值范围．

18. 难度：中等

有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面（编号为①②③④⑤⑥）上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5．若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用ξ表示更换费用．
（1）求①号面需要更换的概率；
（2）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；
（3）写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

19. 难度：中等

如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行
四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为θ，
且．
（1）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（2）记AC=x，V（x）表示三棱锥A-CBE的体积，求V（x）的表达式；
（3）当V（x）取得最大值时，求二面角D-AB-C的大小．

20. 难度：中等

设函数f（x）=lnx+x²+ax．
（Ⅰ）若时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）-x²+1，当a=-1时，证明g（x）≤0在其定义域内恒成立，并证明（n∈N，n≥2）．

21. 难度：中等

已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为，且过点（，1）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）直线l分别切椭圆C与圆M：x²+y²=R²（其中3＜R＜5）于A、B两点，求|AB|的最大值．

22. 难度：中等

已知，．数列a_n满足．
（Ⅰ）证明：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅱ）已知≥，证明：；
（Ⅲ）设T_n是数列a_n的前n项和，判断T_n与n-3的大小，并说明理由．．