2011年黑龙江省哈尔滨三中等四校高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部为（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

2. 难度：中等

sin15°+cos165°的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足a₂=3，a_n-1=17，（n≥2），S_n=100，则n的值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

4. 难度：中等

在△ABC中，AD为BC边上的中线，，则=（ ）
A．
B．2
C．
D．3

5. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A．
B．1
C．
D．2

6. 难度：中等

已知命题P：有的三角形是等边三角形，则（ ）
A．¬P：有的三角形不是等边三角形
B．¬P：有的三角形是不等边三角形
C．¬P：所有的三角形都是等边三角形
D．¬P：所有的三角形都不是等边三角形

7. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，若输入p=5，q=6，则输出a，i的值分别为（ ）

A．a=5，i=1
B．a=5，i=2
C．a=15，i=3
D．a=30，i=6

8. 难度：中等

函数的零点个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

9. 难度：中等

某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（ ）

A．22种
B．24种
C．25种
D．36种

10. 难度：中等

设不等式组表示的平面区域为A，不等式y≥ax²+b（b＜0，b为常数）表示的平面区域为B，P（x，y）为平面上任意一点，p：点P（x，y）在区域A内，q：点P（x，y）在区域B内，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．0≤a＜1-b
B．0＜a≤1-b
C．0≤a≤1-b
D．a≤1-b

11. 难度：中等

已知二面角α-l-β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A，B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点（x，y）的轨迹方程是（ ）
A．x²-y²=9（x≥0）
B．x²-y²=9（x≥0，y≥0）
C．y²-x²=9（y≥0）
D．y²-x²=9（x≥0，y≥0）

12. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F任作一条直线交抛物线于A、B两点，A'、B'分别为A、B在l上的射影，M为A'B'的中点，给出下列命题：
①A'F⊥B'F；
②AM⊥BM；
③A'F∥BM；
④A'F与AM的交点在y轴上；
⑤AB'与A'B交于原点．
其中真命题的个数为（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

二、解答题

13. 难度：中等

某市有三类医院，甲类医院有4000病人，乙类医院有2000病人，丙类医院有3000人，为调查三类医院的服务态度，利用分层抽样的方法抽取900人进行调查，则从乙类医院抽取的人数为    人．

14. 难度：中等

已知三棱锥O-ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中，，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为    ．

15. 难度：中等

已知集合M={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}表示的区域为A，集合N={（x，y）|y≤x²，0≤x≤1，0≤y≤1}表示的区域为B，
向区域A内随机抛掷一粒豆子，则豆子落在区域B内的概率为    ．

16. 难度：中等

若f（x）≥h（x）=ax+b≥g（x），则定义h（x）为曲线f（x），g（x）的φ线．已知f（x）=tanx，
x∈[0，），g（x）=sinx，x∈[0，），则f（x），g（x）的φ线为    ．

17. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，，求△ABC的面积S．

18. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=2，AA₁=4，E为AA₁的中点，F为BC中点．
（1）求证：直线AF∥平面BEC₁；
（2）求平面BEC₁和平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

19. 难度：中等

改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2001到2010年十年间每年考入大学的人数．为方便计算，2001年编号为1，2002年编号为2，…，2010年编号为10．数据如下：

年份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
人数y	3	5	8	11	13	14	17	22	30	31

（1）从这10年中随机抽取两年，求考入大学人数至少有1年多于15人的概率；
（2）根据前5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的回归方程，并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值．

20. 难度：中等

已知椭圆C：，F₁，F₂分别为左，右焦点，离心率为，点A在椭圆C上，，，过F₂与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得以线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

巳知函数f（x）=x²-2ax-2alnx（x＞0，a∈R，g（x）=ln²x+2a²+．
（1） 证明：当a＞0时，对于任意不相等的两个正实数x1、x2，均有＞f（）成立；
（2） 记h（x）=，
（i）若y=h′（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（ii）证明：h（x）≥．

22. 难度：中等

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．

23. 难度：中等

已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点，F₁，F₂是圆锥曲线C的左，右焦点．
（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F₁且平行于直线AF₂的直线l的极坐标方程；
（2）在（I）的条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若∀x∈R，恒成立，求实数t的取值范围．