2011年黑龙江省哈尔滨三中等四校高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部为（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

2. 难度：中等

sin15°+cos165°的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足a₂=3，a_n-1=17，（n≥2），S_n=100，则n的值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

4. 难度：中等

在边长为3的正方形ABCD内任取一点P，则P到正方形四边的距离均不小于1的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A．
B．1
C．
D．2

6. 难度：中等

已知命题P：有的三角形是等边三角形，则（ ）
A．¬P：有的三角形不是等边三角形
B．¬P：有的三角形是不等边三角形
C．¬P：所有的三角形都是等边三角形
D．¬P：所有的三角形都不是等边三角形

7. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，若输入p=5，q=6，则输出a，i的值分别为（ ）

A．a=5，i=1
B．a=5，i=2
C．a=15，i=3
D．a=30，i=6

8. 难度：中等

函数的零点的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

9. 难度：中等

在△ABC中，AD为BC边上的中线，，则=（ ）
A．
B．2
C．
D．3

10. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且时，，则f（2010）+f（2011）=（ ）
A．1
B．2
C．-1
D．-2

11. 难度：中等

已知二面角α-l-β的平面角为θ，点P在二面角内，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A，B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点（x，y）的轨迹方程是（ ）
A．x²-y²=9（x≥0）
B．x²-y²=9（x≥0，y≥0）
C．y²-x²=9（y≥0）
D．y²-x²=9（x≥0，y≥0）

12. 难度：中等

设不等式组表示的平面区域为A，不等式y≥ax²+b（b＜0，b为常数）表示的平面区域为B，P（x，y）为平面上任意一点，p：点P（x，y）在区域A内，q：点P（x，y）在区域B内，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．0≤a＜1-b
B．0＜a≤1-b
C．0≤a≤1-b
D．a≤1-b

二、解答题

13. 难度：中等

某市有三类医院，甲类医院有4000病人，乙类医院有2000病人，丙类医院有3000人，为调查三类医院的服务态度，利用分层抽样的方法抽取900人进行调查，则从乙类医院抽取的人数为    人．

14. 难度：中等

已知三棱锥O-ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中OA=1，OB=2，OC=3，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为    ．

15. 难度：中等

已知不等式x²-6x+a（6-a）＜0的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为    ．

16. 难度：中等

若f（x）≥h（x）=ax+b≥g（x），则定义h（x）为曲线f（x），g（x）的φ线．已知f（x）=tanx，
x∈[0，），g（x）=sinx，x∈[0，），则f（x），g（x）的φ线为    ．

17. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，，求△ABC的面积S．

18. 难度：中等

箱中有6张卡片，分别标有1，2，3，…，6．
（1）抽取一张记下号码后不放回，再抽取一张记下号码，求两次之和为偶数的概率；
（2）抽取一张记下号码后放回，再抽取一张记下号码，求两个号码至少一个为偶数的概率．

19. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=2，AA₁=4，E为AA₁的中点，F为BC中点．
（1）求证：直线AF∥平面BEC₁；
（2）求点C到平面BEC₁的距离．

20. 难度：中等

已知函数．
（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当m=1时，证明方程f（x）=g（x）有且仅有一个实数根；
（3）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

已知椭圆C：，F₁，F₂分别为左，右焦点，离心率为，点A在椭圆C上，，，过F₂与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得以线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．

23. 难度：中等

已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），定点，F₁，F₂是圆锥曲线C的左，右焦点．
（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F₁且平行于直线AF₂的直线l的极坐标方程；
（2）在（I）的条件下，设直线l与圆锥曲线C交于E，F两点，求弦EF的长．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若∀x∈R，恒成立，求实数t的取值范围．