2010年湖南省高考适应性测试数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（2+i）i的虚部是（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2

2. 难度：中等

下列命题中是真命题的是（ ）
A．对∀x∈R，x²≥
B．对∀x∈R，x²＜
C．对∀x∈R，∃y∈R，y²＜
D．∃x∈R，对∀y∈R，xy=

3. 难度：中等

的值为（ ）
A．0
B．2
C．2+2cos1
D．2-2cos1

4. 难度：中等

从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有（ ）
A．80种
B．100种
C．120种
D．240种

5. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，且O是△ABC的外心，则=（ ）

A．6
B．-6
C．8
D．-8

6. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，DF⊥AB，垂足为F，DF=3，AF=2FB=2，延长FB到E，使BE=FB，连接BD，EC．若BD∥EC，则四边形ABCD的 面 积为（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

7. 难度：中等

设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S=S（a）（a≥0）是图中阴影部分介于平行线y=0及y=a之间的那一部分的面积，则函数S（a）的图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

不等式组，表示的平面区域内的整点坐标为    ．

10. 难度：中等

某化工厂准备对一化工产品进行技术改造，决定优选加工温度，假定最佳温度在60°C到81°C之间．现用分数法进行优选，则第二次试点的温度为    °C．

11. 难度：中等

程序框图（算法流程图）如图所示，其输出结果A=    ．

12. 难度：中等

在某赛季篮球比赛中，甲、乙两名运动员每场比赛的得分统计茎叶图如图5所示，则发挥较稳定的运动员是    ．

13. 难度：中等

已知x，y，z∈R，x²+y²+z²=1，则x+2y+2z的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD的体积为    ，其外接球的表面积为    ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N^*，且{a_n}中任意两项之和也是该数列中的一项．
（1）若a₁=4，则d的取值集合为    ；
（2）若a₁=2^m（m∈N^*），则d的所有可能取值的和为    ．

16. 难度：中等

已知向量=（sin（3x+），cos3x），函数f（x）=2a²．求：
（Ⅰ）函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）函数f（x）的单调递增区间．

17. 难度：中等

某校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试．规定三项都合格者才能录取．假定每项测试相互独立，学生A各项测试合格的概率组成一个公差为的等差数列，且第一项测试不合格的概率超过，第一项测试不合格但第二项测试合格的概率为．
（Ⅰ）求学生A被录取的概率；
（Ⅱ）求学生A测试合格的项数X的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2．
（Ⅰ）证明DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E的余弦值．

19. 难度：中等

已知函数，m∈R．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

20. 难度：中等

在一条笔直的工艺流水线上有n个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为x₁，x₂，…，x_n，每个工作台上有若干名工人．现要在流水线上建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（Ⅰ）若n=3，每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（Ⅱ）若n=5，工作台从左到右的人数依次为3，2，1，2，2，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知点，点B在直线上运动，过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设点P是轨迹E上的动点，点R，N在y轴上，圆C：（θ为参数）内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．