2006-2007学年湖南省十校高三3月联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=log₂（x²-1）的定义域是（ ）
A．（1，+∞）
B．（-∞，-1）
C．（-1，1）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

2. 难度：中等

函数y=sinx+cosx的周期为（ ）
A．
B．π
C．2π
D．4π

3. 难度：中等

已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，且a₁，a₂，a₅成等比数列，则a₂为（ ）
A．-2
B．-3
C．2
D．3

4. 难度：中等

若函数f（x）的反函数f^-1（x）=1+x²（x＜0），则f（2）=（ ）
A．1
B．-1
C．1和-1
D．5

5. 难度：中等

直线x+2ay-1=0与（a-1）x-ay+1=0平行，则a的值为（ ）
A．
B．或0
C．0
D．-2或0

6. 难度：中等

在棱长为1的正方体AC₁中，对角线AC₁在六个面上的射影长度总和是（ ）
A．6
B．
C．
D．

7. 难度：中等

若双曲线的一个顶点是焦距的一个四等分点，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．3
C．2
D．

8. 难度：中等

设实数x、y满足约束条件，则3x+2y的最大值是（ ）
A．6
B．5
C．
D．0

9. 难度：中等

现有6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的乘车方案数为（ ）
A．70
B．60
C．50
D．40

10. 难度：中等

如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时．根据这个函数图象，提出关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．
其中正确信息的序号是（ ）

A．①②③
B．①③
C．②③
D．①②

二、解答题

11. 难度：中等

将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组的频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m=    ．

12. 难度：中等

已知cosα=-，α∈（，π），则等于    ．

13. 难度：中等

设f（x）（x∈R）是以3为周期的周期函数，且为奇函数，又f（1）＞1，f（2）=a，那么 a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在（1-x）⁶（1+x+x²）的展开式中，x³的系数是    （用数字作答）．

15. 难度：中等

对于不同的直线m，n和不同的平面α，β，给出下列命题：
①n∥α       ②n∥m
③m与n异面 ④
其中正确 的命题序号是    ．

16. 难度：中等

在△ABC中，，BC=1，．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）求的值．

17. 难度：中等

在人寿保险业中，要重视某一年龄的投保人的死亡率，经过随机抽样统计，得到某城市1个投保人能活到75岁的概率为0.60，试问：
（1）3个投保人都能活到75岁的概率；
（2）3个投保人中只有1人能活到75岁有概率；
（3）3个投保人中至少有1人能活到75岁的概率．

18. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E是棱AB上的动点．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）若二面角D₁-EC-D为45时，求EB的长．

19. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）上以点P（1，f（1））为切点的切线方程为y=3x+1．
（1）若y=f（x）在x=-2时有极值，求f （x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]上最大值．

20. 难度：中等

数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），
已知a₃=95．
（1）求a₁，a₂；
（2）是否存在一个实数t，使得，且{b_n}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

如图椭圆C的方程为，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为-1的直线交椭圆于B点，点P（1，0），且BP∥y轴，△APB的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．