2011年江苏省扬州中学高三最后冲刺数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x=sin，n∈Z}，则集合A的子集的个数为    ．

2. 难度：中等

若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为    ．

3. 难度：中等

已知条件p：，条件q：（x+a）（x-3）＞0，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围可以是    ．

4. 难度：中等

如图程序运行结果是    ．

5. 难度：中等

如图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为    ．

6. 难度：中等

在120°的二面角内放置一个小球，它与二面角的两个面相切于M、N两点，这两个点的距离AB=5，则小球的半径为    ．

7. 难度：中等

函数f（x）=ln（x²-2x）的单调递增区间是    ．

8. 难度：中等

将直线2x-y+λ=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数x²+y²+2x-4y=0的值为    ．

9. 难度：中等

O是锐角△ABC所在平面内的一定点，动点P满足：，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的    心．

10. 难度：中等

对于使-x²+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值l做-x²+2x的上确界，若a，b∈R，且a+b=1，则--的上确界为    ．

11. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A₁D₁的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xoy中，动点P的轨迹方程是    ．

12. 难度：中等

设函数f（x）=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，f（0）=，数列{a_n}满足f（1）=n²•a_n，则数列{a_n}的通项=    ．

13. 难度：中等

函数f（x）是奇函数，且在[-1，1]是单调增函数，又f（-1）=-1，则满足f（x）≤t²+2at+1对所有的x∈[-1，1]及a∈[-1，1]都成立的t的范围是    ．

14. 难度：中等

已知O为坐标原点，，，=（0，a），，记、、中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂（x+-a）的定义域为A，值域为B．
（1）当a=4时，求集合A；
（2）当B=R时，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=a，直线B₁C与平面ABC成30°角．
（1）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；   
（2）求C₁到平面B₁AC的距离；   
（3）求三棱锥A₁-AB₁C的体积．

17. 难度：中等

某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与投资单位：万元）．

（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？

18. 难度：中等

已知△ABC的周长为6，依次为a，b，c，成等比数列．
（1）求证：
（2）求△ABC的面积S的最大值；
（3）求的取值范围．

19. 难度：中等

已知点A（-1，0）、B（1，0），△ABC的周长为2+2．记动点C的轨迹为曲线W．
（1）直接写出W的方程（不写过程）；
（2）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，是否存在常数k，使得向量+与向量共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
（3）设W的左右焦点分别为F₁、F₂，点R在直线l：x-y+8=0上．当∠F₁RF₂取最大值时，求的值．

20. 难度：中等

函数的定义域为{x|x≠1}，图象过原点，且．
（1）试求函数f（x）的单调减区间；
（2）已知各项均为负数的数列{a_n}前n项和为S_n，满足，求证：；
（3）设，是否存在m₁，，n₁，m₂，n₂∈N*，使得ln2011∈（g（m₁，n₁），g（m₂，n₂））？若存在，求出m₁，，n₁，m₂，n₂，证明结论；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

四边形ABCD和四边形A'B'C'D'分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A（-1，2），B（3，2），C（3，-2），D（-1，-2），A'（-1，0），B'（3，8），C'（3，4），D'（-1，-4）．求将四边形ABCD变成四边形A'B'C'D'的变换矩阵M．

22. 难度：中等

直线和曲线相交于A、B两点．求线段AB的长．

23. 难度：中等

设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．
（1）当p=q=时，求数学期望E（ξ）及方差V（ξ）；
（2）当p+q=1时，将ξ的数学期望E（ξ）用p表示．

24. 难度：中等

已知正项数列{a_n}中，对于一切的n∈N^*均有a_n²≤a_n-a_n+1成立．
（1）证明：数列{a_n}中的任意一项都小于1；
（2）探究a_n与的大小，并证明你的结论．