2011年江苏省南通市通州高级中学高考综合测试数学试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”，则黄金椭圆的离心率为    ．

2. 难度：中等

∁_NN^*=    ．

3. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为    ．

4. 难度：中等

根据某运动员在某赛季各场比赛的得分制作得到了如图的茎叶图，则该运动员的平均得分为    ．

5. 难度：中等

“y=cosx是周期函数”写成三段论是：
大前提：三角函数都是周期函数
小前提：    ．
结  论：函数y=cosx是周期函数．

6. 难度：中等

下面的流程图中，能实现数据A，B互相交换的有    ．（要求把符合条件的图形序号全填上）

7. 难度：中等

对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：
①；②（a+b）²=a²+2ab+b²；
③若|a|=|b|，则a=±b；④若a²=ab，则a=b．
那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是    ．

8. 难度：中等

已知数列{a_n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a_n=2n²+kn恒成立，则实数k的取值范围是    ．

9. 难度：中等

某水池装有编号为1，2，3，…，15的15 个进出口水管，有的只进水，有的只出水．已知所开的水管号与水池装满水所需的时间如下表：

水管号	1，2	2，3	3，4	4，5	5，6	6，7	7，8	8，9	9，10	10，11	11，12	12，13	13，14	14，15	15，1
时间（分）	2	4	8	16	32	64	128	255	510	1020	2040	4080	8160	16320	32640

若15 个水管一齐开，则灌满水池所需时间为    分．

10. 难度：中等

已知P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的动点，且，则动点P的轨迹的长度是    ．

11. 难度：中等

甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共打了10局，乙共打了17局，而丙共当裁判6局．现给出下列判断：
①连续两局中，任何1人至少打了1局；
②比赛共进行了33局；
③整个比赛的第8局的输方必是甲．
其中所有正确判断的命题的序号为    ．

12. 难度：中等

已知抛物线y=g（x）经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值，则a，b，m，n的大小关系为    ．

13. 难度：中等

如果一个点是一个指数函数的图象与对数函数图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的5个点：①（1，1）；②（1，2）；③（2，1）；④（2，2）；⑤（2，）中，“好点”有    ．（填所有满足条件的点的序号）

14. 难度：中等

已知集合P⊆Z，并且满足条件：
（1）P中有正数，也有负数；（2）P中有奇数，也有偶数；（3）-1∉P；（4）若x，y∈P，则x+y∈P．
现给出下面的判断：①1∈P；②1∉P；③2∈P；④2∉P；⑤0∈P．
其中所有正确判断的命题序号为    ．

15. 难度：中等

如图，已知正四面体ABCD的棱长为3cm．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）已知点E是CD的中点，点P在△ABC的内部及边界上运动，且满足EP∥平面ABD，试求点P的轨迹；
（3）有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能地选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，当它爬了12cm之后，求恰好回到A点的概率．

16. 难度：中等

如图，正△ABC的边长为15，，．
（1）求证：四边形APQB为梯形；
（2）求梯形APQB的面积．

17. 难度：中等

已知递减的等比数列{a_n}，各项均正，且满足
（1）求a₃；
（2）求数列{a_n}的公比q．

18. 难度：中等

已知动点P（x，y）满足log₄（x+2y）+log₄（x-2y）=1．
（1）求x，y所满足的等量关系式；
（2）求|x|-|y|的最小值．

19. 难度：中等

已知A是抛物线上的动点，B、C两点分别在x轴的正、负半轴上，圆M：x²+（y-2）²=4内切于△ABC，切点分别为T₁，T₂和原点O，设BC=m，AT₁=n．
（Ⅰ）证明：为定值．
（Ⅱ）已知点A在第一象限，且当△ABC周长最小时，试求△ABC的外接圆方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x，g（x）=3-x²．
（1）求函数F（x）=f（x）g（x）的极值；
（2）设m是负实数，求函数H（x）=f（x）g（x）-m的零点的个数；
（3）如果存在正实数a，b，c，使得f（a）g（b）=f（b）g（c）=f（c）g（a）＞0，试证明a=b=c．