2011年山西省晋中市高考数学三模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x≤1}，P={x|x＞t}，若M∩P=∅，则（ ）
A．t＞1
B．t≥1
C．t＜1
D．t≤1

2. 难度：中等

在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

等差数列a_n中，若a₁，a₂₀₁₁为方程x²-10x+16=0的两根，则a₂+a₁₀₀₆+a₂₀₁₀等于（ ）
A．10
B．15
C．20
D．40

4. 难度：中等

下面说法正确的是（ ）
A．命题“∃x∈R，使得x²+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x²+x+1≥0”
B．命题“若x²-3x+2=0则x=1”的逆否命题为假命题
C．设p、q为简单命题，若”p∨q”为假命题，则”¬p∧¬q”也为假命题
D．实数x＞y是成立的充要条件

5. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若实数x，y满足则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

将函数y=sin2x-cos2x的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0）所得图象关于y轴对称，则a的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若x，y，a∈R⁺，且恒成立，则a的最小值是（ ）
A．
B．
C．1
D．

9. 难度：中等

棱长为的正四面体，其内切球（切于各个面）的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x-lg|x|的零点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

11. 难度：中等

已知P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，则的值（ ）
A．是定值6
B．最大值为8
C．最小值为2
D．与P点位置有关

12. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=，设a=f（），b=f（），c=f（2），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b
B．b＜a＜c
C．c＜b＜a
D．a＜b＜c

二、解答题

13. 难度：中等

已知抛物线的顶点在原点，抛物线的焦点和双曲线的右焦点重合，则抛物线的方程为    ．

14. 难度：中等

如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是    ．

15. 难度：中等

如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：
①先产生两组0～1的均匀随机数，a=rand （ ），b=rand （ ）；
②做变换，令x=2a，y=2b；（3）产生N个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数N₁，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N₁=332，则据此可估计S的值为    ．

16. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则方程f（x）=的所有解之和为    ．

17. 难度：中等

已知在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c向量，，且m⊥n．
（I）求角C的大小．
（Ⅱ）若，求sin（A-B）的值．

18. 难度：中等

如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是棱BC，B₁C₁上的动点，且EF∥CC₁，CD=DD₁=1，AB=2，BC=3．
（Ⅰ）证明：无论点E怎样运动，四边形EFD₁D都为矩形；
（Ⅱ）当EC=1时，求几何体A-EFD₁D的体积．

19. 难度：中等

某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

组数	分组	低碳族的人数	占本组的频率
第一组	[25，30）	120	0.6
第二组	[30，35）	195	p
第三组	[35，40）	100	0.5
第四组	[40，45）	a	0.4
第五组	[45，50）	30	0.3
第六组	[50，55）	15	0.3

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；
（Ⅱ）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．

20. 难度：中等

已知两点A、B分别在直线y=x和y=-x上运动，且，动点P满足（O为坐标原点），点P的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过曲线C上任意一点作它的切线l，与椭圆交于M、N两点，求证：为定值．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

如图，直线AB过圆心O，交圆O于A、B，直线AF交圆O于F（不与B重合），直线L与圆O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．求证：
（Ⅰ）∠BAC=CAG；
（Ⅱ）AC²=AE•AF．

23. 难度：中等

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=．
（I）写出直线l的参数方程；
（II）设l与圆ρ=2相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若∀x∈R，恒成立，求实数t的取值范围．