2011年江苏省南通市如东高级中学高考数学模拟试卷（1）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x＞0}，B={x|-1≤x≤2}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（-2）+f（0）+f（3）=2，则f（2）-f（3）=    ．

3. 难度：中等

“直线ax+2y+1=0和直线3x+（a-1）y+1=0平行”的充要条件是“a=    ”．

4. 难度：中等

若复数z满足z（1+i）=1-i（I是虚数单位），则其共轭复数=    ．

5. 难度：中等

某产品在连续7天中，不合格品的数据分别为4，2，1，0，0，0，0，则这组数据的标准差=    ．

6. 难度：中等

顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是    ．

7. 难度：中等

将函数的图象沿坐标轴右移，使图象的对称轴与函数的对称轴重合，则平移的最小单位是    ．

8. 难度：中等

设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若a⊂α，b⊄α，a，b是异面直线，那么b∥α；（2）若a∥α且b∥α，则a∥b；
（3）若a⊂α，b∥α，a，b共面，那么a∥b；（4）若a⊥α且a⊥β，则α∥β．
上面命题中，所有真命题的序号是    ．

9. 难度：中等

已知有序数对（a，b）满足a∈[0，3]，b∈[-2，2]，关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有实根的概率    ．

10. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，设T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|（n∈N^*）．某学生设计了一个求T_n的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对T_n赋值，则空白处理框中应填入：T_n←    ．

11. 难度：中等

已知，x³+sinx-2a=0，4y³+sinycosy+a=0，则tan（x+2y）=    ．

12. 难度：中等

函数f（x）满足，且x₁，x₂均大于e，f（x₁）+f（x₂）=1，则f（x₁x₂）的最小值为    ．

13. 难度：中等

已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°．设，若，则λ₁+λ₂=    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”．则圆x²+y²=1上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是    ．

15. 难度：中等

已知：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E为棱CC₁的中点．
（1）求证：B₁D₁⊥AE；
（2）求证：AC∥平面B₁DE；
（3）（文）求三棱锥A-BDE的体积．
（理）求三棱锥A-B₁DE的体积．

16. 难度：中等

已知=（1+cosα，sinα），=（1-cosβ，sinβ），，α∈（0，π），β∈（π，2π），向量与夹角为θ₁，向量与夹角为θ₂，且θ₁-θ₂=，若△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A=β-α．
求（Ⅰ）求角A 的大小； 
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为，试求b+c取值范围．

17. 难度：中等

国家加大水利工程建设，某地区要修建一条灌溉水渠，其横断面为等腰梯形（如图），底角A为60，考虑到坚固性及用料原因，要求其横断面的面积为平方米，记水渠深为x米，用料部分的周长（即渠底BC及两腰长的和）为y米，
（1）．求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；
（2）．当水渠的腰长x为多少米时，水泥用料最省（即断面的用料部分的周长最小）？求此时用料周长的值
（3）．如果水渠的深限制在范围内时，横断面用料部分周长的最小值是多少米？

18. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X轴上的椭圆G的离心率为，左顶点A（-4，0），圆O'：（x-2）²+y²=r²是椭圆G的内接△ABC的内切圆．
（Ⅰ） 求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求圆O'的半径r；
（Ⅲ）过M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，判断直线EF与圆O'的位置关系，并证明．

19. 难度：中等

数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使不等式a_n≥m成立中的所有n中的最小值
（Ⅰ）若正项数列{a_n}前n和为S_n，是与（a_n+1）²的等比中项，求a_n及b_n通项；
（Ⅱ）若数列{a_n}通项为a_n=pn+q（n∈N^*，p＞0），是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*），如果存在，求出p和q的取值范围，如果不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数（a∈R）．
（Ⅰ） 当a≥0时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2bx+4．当时，
（i）若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数b取值范围．
（ii） 对于任意x₁，x₂∈（1，2]都有，求λ的取值范围．

21. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．

22. 难度：中等

已知矩阵，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为，属于特征值-1的一个特征向量为，求矩阵A．

23. 难度：中等

已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C₁：与曲线C₂：（t∈R）交于A、B两点．求证：OA⊥OB．

24. 难度：中等

已知x，y，z均为正数．求证：．

25. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱BC的中点，Q在棱CD上．且DQ=λDC，若二面角P-C₁Q-C的余弦值为，求实数λ的值．

26. 难度：中等

已知（x+1）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a及；
（2）试比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并说明理由．