2011年普通高等学校招生全国统一仿真数学试卷1（理科）（大纲版）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若，则=（ ）
A．-1
B．
C．-7
D．7

2. 难度：中等

已知，是非零向量，满足=λ，=λ（λ∈R），则λ=（ ）
A．-1
B．±1
C．0
D．0

3. 难度：中等

函数y=3sin2x的图象向右平移φ个单位（φ＞0）得到的图象恰好关于直线对称，则ϕ的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知命题P：∃x∈R，x²+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，0]∪[1，+∞）
B．[0，1]
C．（-∞，0）∪（1，+∞）
D．（0，1）

5. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=，且（n≥2），则a_n等于（ ）
A．
B．（）^n-1
C．（）ⁿ
D．

6. 难度：中等

口袋中有5只白色乒乓球，5只黄色乒乓球，从中任取5次，每次取1只后又放回，则5次中恰有3次取到白球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．C₅³×0.5⁵

7. 难度：中等

已知实数a，b∈R⁺，a+b=1，M=2^a+2^b，则M的整数部分是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知P是以F₁，F₂为焦点的椭圆上的一点，若PF₁⊥PF₂，tan∠PF₁F₂=，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知s是正实数，满足不等式组：表示的区域内存在一个半径为1的圆，则s为最小值为（ ）
A．1+
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如果函数f（x）对任意的实数x，存在常数M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就称函数f（x）为有界泛函数，下面四个函数：①f（x）=1；②f（x）=x²；③f（x）=（sinx+cosx）x；④
其中属于有界泛函数的是（ ）
A．①②
B．①③
C．③④
D．②④

11. 难度：中等

已知圆C的方程为x²+y²=4，直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．过点（0，1）作直线l₁与l垂直，且直线l₁与圆C交于M、N两点，则四边形PMQN面积的大值（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7

12. 难度：中等

六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．已知在平行四边形ABCD中，AC²+BD²=2（AB²+AD²），则在平行六面体
ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC₁²+BD₁²+CA₁²+DB₁²等于（ ）
A．2（AB²+AD²+AA₁²）
B．3（AB²+AD²+AA₁²）
C．4（AB²+AD²+AA₁²）
D．4（AB²+AD²）

二、解答题

13. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a=csinA，则的最大值为    ．

14. 难度：中等

设f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ，（m，n∈N^*且m≥2，n≥2）的展开式中x项系数为18，则f（x）中含x²项系数的最小值是    ．

15. 难度：中等

某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是    ．

16. 难度：中等

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（-2，1），B（-1，1），C（m-2，m），若α，β满足，且0≤α≤1，0≤β≤1，则α²+β²的最大值为    ．

17. 难度：中等

在△ABC中，设a，b，c是角A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且．
（I）求角B的度数；
（II）若，求b的值．

18. 难度：中等

某公司在“2010年上海世博会知识宣传”活动中进行抽奖活动，抽奖规则是：在一个盒子中装有8张大小相同的精美卡片，其中2张印有“世博会欢迎您”字样，2张印有“世博会会徽”图案，4张印有“海宝”（世博会吉祥物）图案，现从盒子里无放回的摸取卡片，找出印有“海宝”图案的卡片表示中奖且停止摸卡．
（Ⅰ）求最多摸两次中奖的概率；
（Ⅱ）用ξ表示摸卡的次数，求ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

在圆柱OO′中，△ABC是其下底面的内接正三角形，B₁、C₁是其上底面的两点，且B₁B⊥平面ABC，C₁C⊥平面ABC．已知AB=2，AB₁=4．
（1）求几何体ABB₁C₁C与圆柱OO'的体积之比；
（2）当点D是AC中点时，证明：AB₁∥平面BDC₁，并求二面角D-BC₁-C的余弦值．

20. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
（2）设A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．求四边形AEBF面积的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（ax+1）+x²-ax，a＞0，
（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间A；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[1，2]，不等式f（x）≤m在上恒成立，求m的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x-ln（x+a）．（a是常数）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当y=f（x）在x=1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在[0.5，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）求证：当n≥2，n∈N₊时．