2011年北京市朝阳区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|2^x＞1}，，则A∩（C_UB）=（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|0＜x＜1}
C．{x|0＜x≤1}
D．{x|x≤1}

2. 难度：中等

设x，y∈R，那么“x＞y＞0”是“”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

已知，0＜α＜π，则=（ ）
A．
B．-1
C．
D．-7

4. 难度：中等

双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

5. 难度：中等

三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形．若三棱柱的正视图（如图所示）的面积为8，则侧视图的面积为（ ）

A．8
B．4
C．
D．

6. 难度：中等

连续抛两枚骰子分别得到的点数是a，b，则向量（a，b）与向量（1，-1）垂直的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-cosx，则f（-0.5），f（0），f（0.6）的大小关系是（ ）
A．f（0）＜f（-0.5）＜f（0.6）
B．f（-0.5）＜f（0.6）＜f（0）
C．f（0）＜f（0.6）＜f（-0.5）
D．f（-0.5）＜f（0）＜f（0.6）

8. 难度：中等

已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S₁，S₂，S₃，记，，，定义M（P）=（λ₁，λ₂，λ₃）．当λ₂•λ₃取最大值时，则M（P）等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

设i为虚数单位，复数z满足iz=1-i，则z=    ．

10. 难度：中等

已知向量，的夹角为60°，||=3，||=2，若⊥（m+2），则实数m的值为    ．

11. 难度：中等

如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距n mile，则此船的航行速度是    n mile/h．

12. 难度：中等

右边程序框图的程序执行后输出的结果是    ．

13. 难度：中等

某射击运动员在一组射击训练中共射击5次，成绩统计如下表：

环数	8	9	10
次 数	2	2	1

则这5次射击的平均环数为    ；5次射击环数的方差为    ．

14. 难度：中等

已知区域D：则x²+y²的最小值是    ；
若圆C：（x-a）²+（y-2）²=2与区域D有公共点，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求y=f（x）的单调区间．

16. 难度：中等

设{a_n}是一个公差为2的等差数列，a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）数列{b_n}满足，求b₁•b₂•…•b_n（用含n的式子表示）．

17. 难度：中等

在长方形AA₁B₁B中，AB=2A₁=4，C，C₁分别是AB，A₁B₁的中点（如图）．将此长方形沿CC₁对折，使平面AA₁C₁C⊥平面CC₁B₁B（如图），已知D，E分别是A₁B₁，CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：C₁D∥平面A₁BE；
（Ⅱ）求证：平面A₁BE⊥平面AA₁B₁B；
（Ⅲ）求三棱锥C₁-A₁BE的体积．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-ax，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆经过点A（2，1），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，设直线AM和直线AN的斜率分别为k_AM和k_AN，求证：k_AM+k_AN为定值．

20. 难度：中等

对于整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0≤r＜|b|．特别地，当r=0时，称b能整除a，记作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），试求q，r的值；
（Ⅱ）若B⊆A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的个数），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，则称B为“谐和集”．请写出一个含有元素7的“谐和集”B和一个含有元素8的非“谐和集”C，并求最大的m∈A，使含m的集合A有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由．