2010年广东省珠海市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，复数Z与复平面内的点（2，-1）对应，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

a是三角形的一个内角，若tana=，则cos（a+）=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

3. 难度：中等

等差数列{a_n}的前3项和为15，最后3项和为123，所有项的和是345，这个数列的项数是（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16

4. 难度：中等

已知a、b是实数，则“a＞1，b＞1”是“a+b＞2且ab＞1”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条

5. 难度：中等

θ为三角形的内角，=（cosθ，sinθ），=（，-1），|2-|=4，则θ=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为（ ）

A．5
B．6
C．9
D．10

7. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足下列三个条件：（1）f（x+3）=-；（2）对任意3≤x₁＜x₂≤6，都有f（x₁）＜f（x₂）；（3）y=f（x+3）的图象关于y轴对称．则下列结论中正确的是（ ）
A．f（3）＜f（7）＜f（4.5）
B．f（3）＜f（4.5）＜f（7）
C．f（7）＜f（4.5）＜f（3）
D．f（7）＜f（3）＜f（4.5）

8. 难度：中等

已知点M（-3，0），N（3，0），设P（x，y）是区域C边界上的点，则下列式子恒成立的是（ ）
A．|PM|+|PN|≥10
B．|PM|-|PN|≥10
C．|PM|+|PN|≤10
D．|PM|+|PN|=10

二、解答题

9. 难度：中等

在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ²）（σ＞0），若ξ在（0，1）内的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为    ．

10. 难度：中等

（x-）⁶展开式中，含x²项的系数是    ．

11. 难度：中等

已知F₁、F₂为椭圆（a＞b＞0）的焦点，M为椭圆上一点MF₁⊥x轴且∠F₁MF₂=45°，则椭圆的离心率是    ．

12. 难度：中等

甲乙两艘船都要在某个泊停靠，若分别停靠6小时、8小时．假定它们在一昼夜的时间段内到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 ．

13. 难度：中等

方程x+y+z=12的正整数解的个数为    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）．
已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是 （t为参数），则直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为    ．

15. 难度：中等

如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交圆O于Q，若∠BTC=120°，AB=4，则PQ•PB=    ．

16. 难度：中等

如图，已知平面四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AB=AD=2，∠BAD=2θ，记四边形ABCD的面积为S．
（1）将S表示为θ的函数；
（2）求S的最大值及相应的θ值．

17. 难度：中等

如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中的四个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、90°90°．用这两个转盘进行玩游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域数为x，转盘（B）指针所对的区域数为y，x、y∈{1，2，3，4}，设x+y的值为ξ，每一次游戏得到奖励分为ξ．
（1）求x＜3且y＞2的概率；
（2）某人进行了6次游戏，求他平均可以得到的奖励分．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，△PCD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，平面PDC丄平面ABCD，M、N、E分别是AB、PD、PC的中点，AB=2AD．
（Ⅰ）求证DE丄MN；
（Ⅱ）求二面角B-PA-D的余弦值．

19. 难度：中等

（文）在△ABC中，A点的坐标为（3，0），BC边长为2，且BC在y轴上的区间[-3，3]上滑动．
（1）求△ABC外心的轨迹方程；
（2）设直线l：y=3x+b与（1）的轨迹交于E，F两点，原点到直线l的距离为d，求的最大值．并求出此时b的值．

20. 难度：中等

已知函数的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（Ⅰ）求实数b，c的值；  
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=-cosx，g（x）=2x-π，数列{x_n}满足：x₁=a（a∈），g（x_n+1）=f（x_n）n∈N^*．
（1）当a=时，求x₂，x₃的值并写出数列{x_n}的通项公式（不要求证明）；
（2）求证：当x≥0时，-x≤f′（x）≤x；
（3）求证：…+＜π（n∈N^*．