2010年广东省茂名市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已右集合M={x|x²+3x-4＜4}，N={x|2^2x-1＞1}则M∩N=（ ）
A．（-4，1）
B．
C．
D．（1，+∞）

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂+a₄=10，a_n=39，则n=（ ）
A．19
B．20
C．21
D．22

3. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点（-1，a）在直线x+y-3=0的右上方，则a的取值范围是（ ）
A．（1，4）
B．（-1，4）
C．（-∞，4）
D．（4，+∞）

4. 难度：中等

定积分∫⁴π（16-x²）dx等于（ ）
A．半径为4的球的体积
B．半径为4的四分之一球的体积
C．半径为4的半球的体积
D．半径为4的球面积

5. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=30°，AD是边BC′上的高，则•的值等于（ ）

A．0
B．4
C．8
D．-4

6. 难度：中等

某银行开发出一套网银验证程序，验证规则如下：（1）有两组数字，这两组数字存在一种对应关系；第一组数字a，b，c对应于第二组数字2a+b，c+2b，a+3c；（2）进行验证时程序在电脑屏幕上依次显示产第二组数字，由用户计算出第一组数字后依次输入电脑，只有准确输入方能进入，其流程图如图，试问用户应输入（ ）

A．3，4，5
B．4，2，6
C．2，6，4
D．3，5，7

7. 难度：中等

若圆O₁方程为（x+1）²+（y+1）²=4，圆O₂方程为（x-3）²+（y-2）²=1，则方程（x+1）²+（y+1）²-4=（x-3）²+（y-2）²-1表示的轨迹是（ ）
A．线段O₁O₂的中垂线
B．过两圆内公切线交点且垂直线段O₁O₂的直线
C．两圆公共弦所在的直线
D．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等

8. 难度：中等

设，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（ ）
A．充分必要条件
B．充分而非必要条件
C．必要而非充分条件
D．既非充分也非必要条件

二、解答题

9. 难度：中等

i为虚数单位，若复数z满足f（z+i）=z-3i，则|f（2i）+1|=    ．

10. 难度：中等

已知正实数x，y满足xy=1，则（+y）（+x）的最小值为    ．

11. 难度：中等

关于x的方程的解集是{sinθ，cosθ}，则实数p=    ．

12. 难度：中等

已知函数，若方程f（x）=0有3个不等的实根，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

设，B={（x，y）|x²+y²＜25}，若A⊂B，则k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C的极坐标方程是ρ=6sinθ，以极点为坐标原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是为参数），则直线l与曲线C相交所得的弦的弦长为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲）如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，B、C 为切点，且OC=3，AB=4，延长OA到D点，则△ABD的面积是    ．

16. 难度：中等

已知函数的最大值为2．
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．

17. 难度：中等

某次运动会在我市举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱．
（1）根据以上数据完成以下2×2列联表：

	喜爱运动	不喜爱运动	总计
男	10		16
女	6		14
总计			30

（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？
（3）从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为ξ，求ξ的分布列和均值．
参考公式：，其中n=a+b+c+d
参考数据：

P（K^2≥k）	0.40	0.25	0.10	0.010
k	0.708	1.323	2.706	6.635

18. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，其中正（主）视图与侧（左）视为直角三角形，俯视图为正方形．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E是侧棱PA上的动点．问：不论点E在PA的任何位置上，是否都有BD⊥CE？请证明你的结论？
（3）求二面角D-PA-B的余弦值．

19. 难度：中等

已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设，若g（x）＞0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

如图所示，椭圆的离心率为，且A（0，1）是椭圆C的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点A作斜率为1的直线l，在直线l上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两实根，且a₁=1．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n；
（3）问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对∀n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．