2008年北京市宣武区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

sin240°的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，则“a₁＜0且0＜q＜1”是“对于任意n∈N^*都有a_n+1＞a_n”的 （ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

函数y=x²（x＜0）的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知m∈R，向量=（m，1），若||=3，则m=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在（1-x）⁶展开式中，含x³项的系数是（ ）
A．20
B．-20
C．-120
D．120

6. 难度：中等

编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的做法是（ ）
A．10种
B．20种
C．30种
D．60种

7. 难度：中等

已知抛物线上有两点A、B，且AB垂直于y轴，若，则抛物线的焦点到直线AB的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如果对于函数f（x）定义域内任意的x，都f（x）≥M（M为常数），称M为f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下确界．下列函数中，有下确界的函数是（ ）
①f（x）=sinx  ②f（x）=lgx  ③f（x）=e^x ④f（x）=
A．①②
B．①③
C．②③④
D．①③④

二、解答题

9. 难度：中等

设集合A={0，1，2，4，5，7}，B={1，3，6，8，9}，C={3，7，8}，则集合（A∩B）∪C=    ．

10. 难度：中等

在等差数列=    ．

11. 难度：中等

设z=2x+y，变量x，y满足条件，则z的最大值是    ．

12. 难度：中等

已知球的表面积为64πcm²，则它的体积是    ．

13. 难度：中等

设函数，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|，则此双曲线的离心率e的最大值为     ．

15. 难度：中等

已知tanθ=-2，求：
（1）tan
（2）cos2θ的值．

16. 难度：中等

某车间准备从10名工人中选送4人到某生产线工作，工厂规定：这条生产线上熟练工人不得少于3人．已知这10名工人中熟练工人8名，学徒2名，
（1）求工人配置合理的概率；
（2）为了督促安全生产，工人安全部门每月对工人配置合理与否的情况进行三次检查，求其中两次检查得到结果是配置不合理的概率．

17. 难度：中等

如图，已知长方体AC₁中，AB=BC=1，BB₁=2，连接B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交B₁C于F
（1）求证：AC₁⊥平面EBD；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离；
（3）求直线DE与平面A₁B₁C所成角的正弦值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-x+2，（a∈R）
（1）若f（x）在（0，1）上是减函数，求a的最大值；
（2）若f（x）的单调递减区间是，求函数y=f（x）图象过点（1，1）的切线与两坐标轴围成图形的面积．

19. 难度：中等

已知⊙O：x²+y²=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）在各项均不为零的数列{c_n}中，若ci•ci+1＜0，则称ci，ci+1为这个数列{c_n}一对变号项．令（n为正整数），求数列{c_n}的变号项的对数．