2010年湖北省天门中学高三5月模拟数学试卷A（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A₁，A₂满足A₁∪A₂=A，则记[A₁，A₂]是A的一组双子集拆分．规定：[A₁，A₂]和[A₂，A₁]是A的同一组双子集拆分，已知集合A={1，2}，那么A的不同双子集拆分共有（ ）
A．8组
B．7组
C．5组
D．4组

2. 难度：中等

若将函数y=sinωx的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则ω的一个值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）
A．若向量a=（x，y），向量b=（-y，x），（xy≠0），则a⊥b
B．平行四边形ABCD是菱形的充要条件是（）（）=0
C．点G是△ABC的重心，则++=
D．△ABC中，和的夹角等于180°-A

4. 难度：中等

某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=（ ）
A．60
B．70
C．80
D．90

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=3n-5，则（1+x）⁵+（1+x）⁶+（1+x）⁷的展开式 中含x⁴项的系数是该数列的（ ）
A．第9项
B．第19项
C．第10项
D．第20项

6. 难度：中等

三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生相邻排列的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC₁和BB₁的中点，则直线DE与平面BB₁C₁C所成的角为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若平面区域是一个梯形，则实数k的取值范围是（ ）
A．（1，2）
B．（2，+∞）
C．（1，+∞）
D．（-∞，2）

9. 难度：中等

设数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，已知a₁+a₄+a₇=99，a₂+a₅+a₈=93，若对任意n∈N*，都有S_n≤S_k成立，则k的值为（ ）
A．22
B．21
C．20
D．19

10. 难度：中等

下列三图中的多边形均为正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线均以图中的F₁，F₂为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为e₁，e₂，e₃、则e₁，e₂，e₃的大小关系为（ ）
A．e₁＞e₂＞e₃
B．e₁＜e₂＜e₃
C．e₂=e₃＜e₁
D．e₁=e₃＞e₂

二、解答题

11. 难度：中等

CD是锐角△ABC的边AB上的高，且=1，则∠A+∠B=    ．

12. 难度：中等

抛物线y=ax²的准线方程是y=1，则a的值为     ．

13. 难度：中等

两个函数y=x-1与y=lnx的图象共有公共点    个．

14. 难度：中等

某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下6个项目可供选择：

项目	A	B	C	D	E	F
投资额/亿元	5	2	6	4	6	1
利润/亿元	0.55	0.4	0.6	0.5	0.9	0.1

设计一个投资方案，使投资13亿元所获利润大于1.6亿元，则应选的项目是    ．（只需写出一种符合条件的项目组合的代号）

15. 难度：中等

球O与单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各面都相切，P是球面O上一动点，AP与面ABCD所成角为α，则tanα的最大值为    ．AP的最大值为    ．

16. 难度：中等

如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；
（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．

17. 难度：中等

在一次数学考试中，共有10道选择题，每题均有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，评分标准规定：“每道题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有6道题是正确的，其余题目中：有两道题可判断两个选项是错误的，有一道可判断一个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，请求出该考生：
（1）得50分的概率；（2）比较得35分和40分的概率的大小．并说明他最有可能得到的分数．

18. 难度：中等

如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=，
EF=2．
（1）求异面直线AD与EF所成的角；
（2）当二面角D-EF-C的大小为45°时，求二面角A-EC-B的正切值．

19. 难度：中等

设椭圆的左，右两个焦点分别为F₁，F₂，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且F₁PF₂Q为正方形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为，求此椭圆方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+3x+2的图象相切，记F（x）=f（x）g（x）．
（1）求实数b的值及函数F（x）的极值；
（2）若关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=log₃是f（x）图象上的两点，横坐标为的点P满足2（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y₁+y₂为定值；
（Ⅱ）若，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．