2009-2010学年广东省广州市越秀区高三摸底数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，则正确表示集合M={0，1，2}和N={x|x²+2x=0}关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

命题“存在x∈R，sinx＞1”的否定是（ ）
A．存在x∈R，sinx≤1
B．不存在x∈R，sinx≤1
C．对任意的x∈R，sinx≤1
D．对任意的x∈R，sinx＞1

4. 难度：中等

抛物线y=4x²的准线方程为（ ）
A．y=-
B．y=
C．y=
D．y=-

5. 难度：中等

为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区200名年龄为17岁～18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这200名学生中体重在[64.5，76.5]（kg）的学生人数是（ ）
A．42
B．58
C．84
D．116

6. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（ ）（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）

A．3
B．4
C．7
D．8

7. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设函数f（x）=x³-4x+3+lnx（x＞0），则y=f（x）（ ）
A．在区间（0，），（，2）内均无零点
B．在区间（0，），（，2）内均有零点
C．在区间（0，）内无零点，在区间（，2）内有零点
D．在区间（0，）内有零点，在区间（，2）内无零点

二、解答题

9. 难度：中等

函数的定义域是    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则φ=    ．

11. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，那该几何体的体积为    ．

12. 难度：中等

若实数x，y满足则的取值范围是    ．

13. 难度：中等

设a=∫^π（sinx+cosx）dx，则展开式中的常数项是    ．

14. 难度：中等

（《几何证明选讲》选做题）如图，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC=1，PA=4，则sin∠ABD的值为    ．

15. 难度：中等

（《坐标系与参数方程》选做题）在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ=2，直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极坐标方程是    ．

16. 难度：中等

设函数f（x）=xsinx（x∈R）．
（1）证明：f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，k∈Z；
（2）设x为f（x）的一个极值点，证明．

17. 难度：中等

某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示．据统计，随机变量ξ的概率分布如下：

ξ		1	2	3
P	0.1	a	2a	0.3

（1）求a的值和ξ的数学期望；
（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉3次的概率．

18. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小．

19. 难度：中等

已知{a_n}是公差不为0的等差数列，它的前9项和S₉=90，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}和{b_n}满足等式：（n为正整数），求数列{b_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

已知a、b、c∈R且a＜b＜c，函数f（x）=ax²+2bx+c满足f（1）=0，且关于t的方程f（t）=-a有实根（其中t∈R且t≠1）．
（1）求证：a＜0，c＞0；
（2）求证：0≤＜1．

21. 难度：中等

已知一动圆P（圆心为P）经过定点Q（，0），并且与定圆C：（圆心为C）相切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若斜率为k的直线l经过圆x²+y²-2x-2y=0的圆心M，交动圆圆心P的轨迹于A、B两点．是否存在常数k，使得？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．