2011年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

下列四个命题中，假命题为（ ）
A．∀x∈R，2^x＞0
B．∀x∈R，x²+3x+1＞0
C．∃x∈R，lgx＞0
D．∃x∈R，

3. 难度：中等

已知a＞0且a≠1，函数y=log_ax，y=a^x在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

参数方程为参数）和极坐标方程ρ=4sinθ所表示的图形分别是（ ）
A．圆和直线
B．直线和直线
C．椭圆和直线
D．椭圆和圆

5. 难度：中等

由1，2，3，4，5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是（ ）
A．120
B．84
C．60
D．48

6. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是．（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0），两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），若（Ax₁+By₁+C）（Ax₂+By₂+C）＞0，且|Ax₁+By₁+C|＞|Ax₂+By₂+C|，则（ ）
A．直线l与直线P₁P₂不相交
B．直线l与线段P₂P₁的延长线相交
C．直线l与线段P₁P₂的延长线相交
D．直线l与线段P₁P₂相交

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x₁∈[-1，2]，∃x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（0，3]
D．[3，+∞）

二、解答题

9. 难度：中等

圆C：x²+y²+2x-2y-2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是    ．

10. 难度：中等

如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知∠D=46°，则∠A=    ．

11. 难度：中等

函数的最小正周期为    ，最大值为    ．

12. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是    ．

13. 难度：中等

如果执行程序框图，那么输出的a=    ．

14. 难度：中等

如图所示，∠AOB=1rad，点A_l，A₂，…在OA上，点B₁，B₂，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为l长度单位/秒，则质点M到达A₃点处所需要的时间为    秒，质点M到达A_n点处所需要的时间为    秒．

15. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=4，S₅=35．
（Ⅰ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，求数列{b_n}的前n项和T_n．

16. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中，a₂=9，a₅=243．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足求数列{b_n}的前100项的和．

17. 难度：中等

张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L₁，L₂两条路线（如图），L₁路线上有A₁，A₂，A₃三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L₂路线上有B₁，B₂两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（Ⅰ）若走L₁路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走L₂路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
关于概率统计问题，几次考查都没有将概率与统计图表结合起来，请老师们注意，在复练时要有意识的进行练习．

18. 难度：中等

已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△BC'D，使得平面BC'D⊥平面ABD．
（Ⅰ）求证：C'D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直线BD与平面BEC'所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D-BE-C'的余弦值．
本题重点考查的是翻折问题．在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变的学生必须非常清楚．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-ax²+（a-2）x．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在[a²，a]上的最大值．

20. 难度：中等

已知抛物线P：x²=2py （p＞0）．
（Ⅰ）若抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离为3．
（ⅰ）求抛物线P的方程；
（ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；
（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接AO，BO并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．

21. 难度：中等

用[a]表示不大于a的最大整数．令集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和m∈N*，定义，集合，并将集合A中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{a_n}．
（Ⅰ）求f（1，2）的值；
（Ⅱ）求a₉的值；
（Ⅲ）求证：在数列{a_n}中，不大于的项共有f（m，k）项．