2010年安徽省宿州市灵璧中学高考压轴数学试卷1（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，a-1}，B={0，3，a²+1}，若A∩B={2}，则实数a的值为  （ ）
A．±1
B．1
C．-1
D．0

2. 难度：中等

设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列4个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；
④若α∩β=m，β∩γ=l，α∩γ=n，且n∥β，则m∥l．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

若关于x的方程|a^x-1|=2a（a＞0，a≠1）有两个不等实根，则a的取值范围是（ ）．
A．（0，1）∪（1，+∞）
B．（0，1）
C．（1，+∞）
D．（0，）

4. 难度：中等

在平面直角坐标系中，i，j分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，O为坐标原点，设向量=2i+j，=3i+kj，若A，O，B三点不共线，且△AOB有一个内角为直角，则实数k的所有可能取值的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

在极坐标系中，圆C：ρ²+k²cosρ+ρsinθ-k=0关于直线l：θ=（ρ∈R）对称的充要条件是（ ）
A．k=1
B．k=-1
C．k=±1
D．k=0

6. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=-2010，-=2，则S₂₀₁₀=（ ）．
A．-2008
B．2008
C．-2010
D．2010

7. 难度：中等

定义设实数x、y满足约束条件且z=max{4x+y，3x-y}，则z的取值范围为（ ）．
A．[-6，0]
B．[-7，10]
C．[-6，8]
D．[-7，8]

8. 难度：中等

为预防和控制甲流感，某学校医务室欲将22支相同的温度计分发到高三年级10个班级中，要求分发到每个班级的温度计不少于2支，则不同的分发方方式共有（ ）
A．45种
B．55种
C．90种
D．100种

9. 难度：中等

把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a_n}，若a_n=2009，则n=（ ）
A．1026
B．1027
C．1028
D．1029

二、解答题

10. 难度：中等

过抛物线焦点的直线与此抛物线交于A、B两点，A、B中点的纵坐标为2，则弦AB的长度为    ．

11. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x，则满足f（x）＞0的x的取值范围是    ．

12. 难度：中等

不等式|2^x-1-log₃（x-1）|＜|2^x-1|+|log₃（x-1）|的解集是    ．

13. 难度：中等

某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有    条．

14. 难度：中等

如图，设A、B、C是球O面上的三点，我们把大圆的劣弧在球面上围成的部分叫做球面三角形，记作球面三角形ABC，在球面三角形ABC中，OA=1，设，二面角B-OA-C、
C-OB-A、A-OC-B的大小分别为α、β、γ，给出下列命题：
①若，则球面三角形ABC的面积为；
②若，则四面体OABC的侧面积为；
③圆弧在点A处的切线l₁与圆弧在点A处的切线l₂的夹角等于a；
④若a=b，则α=β．
其中你认为正确的所有命题的序号是    ．

15. 难度：中等

设函数f（x）=cos（2x+）+sin²x．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期．
（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（）=-，且C为非钝角，求sinA．

16. 难度：中等

湖南省有许多旅游景点，某同学利用寒暑假旅游了张家界、南岳、韶山、岳阳楼和桃花源等5个景点，并收藏有张家界纪念门票3张，南岳纪念门票2张，韶山、岳阳楼、桃花源纪念门票各1张，现从中随机抽取5张．
（Ⅰ）求抽取的5张门票中恰有3个或恰有4个景点的概率；
（Ⅱ）若抽取的5张门票中5个景点都有记10分，恰有4个景点记8分，恰有3个景点记6分，依此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列和数学期望．

17. 难度：中等

如图，PC⊥平面ABC，PM∥CB，∠ACB=120°，PM=AC=1，BC=2，异面直线AM与直线PC所成的角为60°．
（Ⅰ）求二面角M-AC-B大小的正切值；
（Ⅱ）求三棱锥P-MAC的体积．

18. 难度：中等

设椭圆E：，O为坐标原点
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A，B且？若存在，写出该圆的方程，关求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），，已知g（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）确定函数h（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：当1＜x＜e²时，恒有成立；
（Ⅲ）把函数h（x）的图象向上平移6个单位得到函数h₁（x）的图象，试确定函数y=g（x）-h₁（x）的零点个数，并说明理由．