2011年安徽省合肥一中高考模拟数学最后一卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，若，则a+b的值是（ ）
A．0
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知向量、满足||=1，||=4，且，则与夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若集合，则“x∈A∩B”是“x∈C”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

在极坐标中，过点（2，0）并且与极轴垂直的直线方程是（ ）
A．ρ=2cosθ
B．ρ=2sinθ
C．ρcosθ=2
D．ρsinθ2

5. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，若，且它们的前n项和S_n有最大值，则使得S_n＜0的n的最小值为（ ）
A．11
B．19
C．20
D．21

7. 难度：中等

双曲线与椭圆的焦点相同，若过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是（ ）
A．（2，4）
B．（2，4]
C．[2，4）
D．（2，+∞）

8. 难度：中等

已知实数x，y满足约束条件则x²+y²+2x的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．1

9. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

把一个正方体的每个角沿各棱的中点都截去一个三棱锥，变成一个新的几何体，那么在新几何体中任意两个顶点连成直线段，则其位于正方体内部的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

将关于x的多项式f（x）=1-x+x²-x³+…+-x¹⁹+x²⁰表示为关于y的多项式g（y）=a+a₁y+a₂y²+…+a₁₉y¹⁹+a₂₀y²⁰，
其中y=x+1，则a+a₁+…+a₂₀=    ．

12. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x）．又当0≤x≤1时，，则当-10≤x≤10，方程的根的和为    ．

13. 难度：中等

如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是    ．

14. 难度：中等

下面是统计某地区一批数学学习是否需要帮助的学生2×2列联表，回答能否有99.9%的把握认为“数学学习是否需要帮助与性别有关．”答：    （填“是”或“否”）

	男	女	合计
需要	a=70	b=30	100
不需要	c=35	d=65	100
合计	105	95	n=200

，

P（K^2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

15. 难度：中等

如图，在海中一灯塔D的周围有两个观察站A和C．已知观察站A在灯塔D的正北5海里处，观察站C在灯塔D的正西方．海面上有一船B，在A点测得其在南偏西60°方向4海里处，在C点测得其在北偏西30°方向上．
（I）求两观测点A与C的距离；
（II）设∠BCA=θ，求cos（θ-45°）

16. 难度：中等

下面有关四面体的命题：
①每一个四面体都有唯一的外接球；
②每一个四面体都有唯一的内切球；
③每一个四面体都有唯一的与其六条棱都相切的球；
④任何一个三棱柱都可以分解成三个等体积的四面体；
⑤对任意一个四面体，存在一个顶点，使得从该点出发的三条棱作为边长可以构成一个三角形．
其中正确命题的序号是    ．

17. 难度：中等

如图，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，DE∥AB，DE=1，∠CBD=60°，F为AC的中点．
（I）求点A到平面BCE的距离；
（II）证明：平面ABC⊥平面ACE；
（III）求平面BCD与平面ACE所成二面角的大小．

18. 难度：中等

箱中装有12张大小、质量一样的卡片，每张卡片正面分别标有1到12中的一个号码，正面号码为n的卡片反面标的数字是n²-9n+22，卡片正反面用颜色区分．
（I）如果任意取出一张卡片，求正面数字不大于反面数字的概率；
（II）如果有放回地抽取三张卡片，用X表示三张中正面数字不大于反面数字的张数求X的分布列和数学期望．
（III）如果同时取出两张卡片，在正面数学无3的倍数的情况下，试求他们反面数字相同的概率．

19. 难度：中等

已知x轴上有一点列P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，且当n≥2时，点P_n是把线段P_n-1P_n+1作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，设线段P₁P₂，P₂P₃，…，P_nP_n+1的长度分别为a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（I）写出a₂，a₃和a_n（n≥2，n∈N^*）的表达式；
（II）记，证明：．

20. 难度：中等

如图所示，点A（p，o）（p＞0），点R在y轴上运动，点T在x轴上，N为动点，且．
（I）设动点N的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（II）设P，Q是曲线C上的两个动点，M（x，y）是曲线C上一定点，若，试证明直线PQ经过定点，并求出该定点的坐标．

21. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2，e≈2.718285．
（I）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（II）存在x∈[1，e]，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围；
（III）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．