2010年江苏省南通市海安高级中学高三5月自检数学试卷（1）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若m∈R，（m+i）³是纯虚数，则m的值为    ．

2. 难度：中等

集合A={0，2，a}，B={1，a²}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为    ．

3. 难度：中等

若平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则•+•+•的值等于     ．

4. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3bsinA，则cosB=    ．

5. 难度：中等

已知数列{a_n}为等比数列，a₁=1，q=2，又第m项至第n项的和为112（m＜n），则m+n的值为    ．

6. 难度：中等

（文）若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值是    ．

7. 难度：中等

已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为    ．

8. 难度：中等

已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（x+1）．若f（a）=-2，则实数a=    ．

9. 难度：中等

二次函数f（x）=ax²+2x-1的值域是（-∞，0]，则函数y=f[f（x）]的值域是    ．

10. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，且x+y=xy，则u=x+4y的取值范围是     ．

11. 难度：中等

若椭圆上横坐标为的点到左焦点的距离大于它到右准线的距离，则椭圆离心率e的取值范围是    ．

12. 难度：中等

若实数x、y满足x≥0，y≥0，在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x²，x∈[-2，2]和函数g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，若对∀x₁∈[-2，2]，总存在x∈[-2，2]，使f（x₁）=g（x）成立，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

关于函数，有下列结论：
①函数f（x）的定义域是（0，+∞）；
②函数f（x）是奇函数；
③函数f（x）的最小值为-lg2；
④当0＜x＜1时，函数f（x）是增函数；当x＞1时，函数f（x）是减函数．
其中正确结论的序号是    ．（写出所有你认为正确的结论的序号）

15. 难度：中等

在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y
（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（2）求y的最大值．

16. 难度：中等

已知矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为CD的中点，沿AE将△AED折起，使DB=2，O、H分别为AE、AB的中点．
（1）求证：直线OH∥面BDE；
（2）求证：面ADE⊥面ABCE．

17. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（1）求证{a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

18. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，，以A为圆心1为半径的圆与AB交于E（圆弧DE为圆在矩形内的部分）
（1）在圆弧DE上确定P点的位置，使过P的切线l平分矩形ABCD的面积；
（2）若动圆M与满足题（1）的切线l及边DC都相切，试确定M的位置，使圆M为矩形内部面积最大的圆．

19. 难度：中等

已知y=f（x）=xlnx．
（1）求函数y=f（x）的图象在x=e处的切线方程；
（2）设实数a＞0，求函数在[a，2a]上的最大值．
（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有成立．

20. 难度：中等

已知函数
（1）a＞1，解关于x的方程f（x）=3．
（2）记函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），若g（x）的最值与a无关，求a的取值范围．

21. 难度：中等

求由曲线 y=，y=1，y=2，x=1所围成的面积．

22. 难度：中等

解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2|

23. 难度：中等

已知两曲线f（x）=cosx，g（x）=sin2x，x．
（1）求两曲线的交点坐标；
（2）设两曲线在交点处的切线分别与x轴交于A，B两点，求AB的长．

24. 难度：中等

已知动圆Q与x轴相切，且过点A（0，2）．
（1）求动圆圆心Q的轨迹M方程；
（2）设B、C为曲线M上两点，P（2，2），PB⊥BC，求点C横坐标的取值范围．