2006年北京市崇文区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知向量=（-5，3），=（2，x），且∥，则x的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知集合A={x|3-x=（x-3）²}，，p：x∈A，q：x∈B，则p是q的（ ）
A．充分条件，但不是必要条件
B．必要条件，但不是充要条件
C．充分必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件

3. 难度：中等

椭圆上的一点P到左焦点的距离为1，则它到相对应的准线的距离为（ ）
A．
B．
C．1
D．

4. 难度：中等

如果复数（b∈R）的实部和虚部互为相反数，则b等于（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

5. 难度：中等

已知直线m、n及平面α、β，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

欲对某商场作一简要审计，通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额．现采用如下方法：从某本25张的发票存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将40号，65号，90号，…发票上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是（ ）
A．简单随机抽样
B．系统抽样
C．分层抽样
D．其它方式的抽样

7. 难度：中等

已知θ是第二象限角，，则的值为（ ）
A．7
B．
C．
D．

8. 难度：中等

函数f（x）和g（x）的定义域为[a，b]，若对任意的x∈[a，b]，总有，则称f（x）可被g（x）“置换”．下列函数中，能置换函数，x∈[4，16]的是（ ）
A．
B．g（x）=x²+6，x∈[4，16]
C．g（x）=x+6，x∈[4，16]
D．g（x）=2x+6，x∈[4，16]

二、解答题

9. 难度：中等

（文） 若，则目标函数z=2x+y的最小值为    ．

10. 难度：中等

函数f（x）=2cos²x-（sinx+cosx）²（x∈R）取得最大值时，自变量x的集合是    ．

11. 难度：中等

小明上楼梯每步可以登一级或两级台阶，若小明上有五级台阶的楼梯，则有    种不同的走法．

12. 难度：中等

若（1+2^x）⁷展开式的第三项为168，则x=    ．

13. 难度：中等

已知x∈R，[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3，[-]=-1，[]=0，则[-]=    ；使[x-1]=3成立的x的取值范围是    ．

14. 难度：中等

双曲线的左、右焦点为F₁、F₂，则左焦点F₁到渐进线的距离为    ，若双曲线上一点P使得∠F₁PF₂为锐角，则P点横坐标的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知一次函数f（x）=ax-2，（a≠0）．
（1）当a=3时，解不等式|f（x）|＜4；
（2）设函数g（x）=f（sin2x）（-≤x≤）的最大值为4，求实数a的值．

16. 难度：中等

如图，直三棱柱ABC-A′B′C′中，CB⊥平面ABB′A′，点E是棱BC的中点，AB=BC=AA′
（I）求证直线CA′∥平面AB′E；
（II）求二面角C-A′B′-B的大小；
（III）求直线CA′与平面BB′C′C所成角的大小．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，a₁=2
（I）求证：数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）
（II）求数列的前n项和T_n；
（III）是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有成立．若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

某足球赛事中甲乙两中球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队，进入点球大战．现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都踢一球，假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为．求：
（I）乙队踢进4个球的概率有多大？
（II）5个点球过后是4：4或5：5平局的概率有多大？

19. 难度：中等

已知f（x）=ax³+x²+cx是定义在R上的函数，f（x）在[-1，0]和[4，5]上是减函数，在[0，2]上是增函数．
（I）求c的值；
（II）求a的取值范围；
（III）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x，y），使得曲线y=f（x）在点M处的切线的斜率为3，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

过抛物线x²=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．
（I）证明：△ABO是钝角三角形；
（II）求△ABO面积的最小值；
（III）过点A作抛物线的切线交y轴于点C，求线段AC中点M的轨迹方程．