2009年北京市首师大附中高三练习数学试卷（1）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={0，1}，N={2x+1|x∈M}，则M∩N=（ ）
A．{1}
B．{0，1}
C．{0，1，3}
D．空集

2. 难度：中等

命题“∃x∈R，x＜1或x²≥4”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x≥1且x²＜4
B．∀x∈R，x＜1或x²≥4
C．∀x∈R，x≥1且x²＜4
D．∀x∈R，x＞1且x²＜4

3. 难度：中等

当时，f（x）=xlnx，则下列大小关系正确的是（ ）
A．f²（x）＜f（x²）＜f（x）
B．f（x²）＜f²（x）＜f（x）
C．f（x）＜f（x²）＜f²（x）
D．f（x²）＜f（x）＜f²（x）

4. 难度：中等

如果点P在平面区域内，点Q（0，-2），那么|PQ|的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）
A．2
B．6
C．3
D．2

6. 难度：中等

已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（ ）
A．[，1]
B．[0，]
C．[，1]
D．[0，1]

7. 难度：中等

已知实数a，b满足等式2^a=3^b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；
⑤a=b．其中可能成立的关系式有（ ）
A．①②③
B．①②⑤
C．①③⑤
D．③④⑤

8. 难度：中等

已知集合A={（x，y）|sin（x+y）＞0，且x²+y²≤π}，则由集合A中的点所构成的平面图形的面积为（ ）
A．
B．π
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

若A（-1，2），B（m，0），C（5，-6）三点共线．则实数m的值等于     ．

10. 难度：中等

直角坐标平面xoy中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是     ．

11. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，则的最小值是     ．

12. 难度：中等

若（a+1）^-2＜（3a-2）^-2，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

圆为参数）的标准方程是     ，过这个圆外一点P（2，3）的该圆的切线方程是     ；

14. 难度：中等

设函数有两个极值点，其中一个在区间（0，1）内，另一个在区间（1，2）内，则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．

16. 难度：中等

设集合，B={x|（x-m+1）（x-2m-1）＜0}．
（1）求A∩Z；
（2）若A⊇B，求m的取值范围．

17. 难度：中等

已知过点A（0，1），且方向向量为的直线l与⊙C：（x-2）²+（y-3）²=1，相交于M、N两点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求证：=定值；
（3）若O为坐标原点，且=12，求k的值．

18. 难度：中等

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数；．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（3）若m＞0，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．

19. 难度：中等

已知数列a₁，a₂，…a₃₀，其中a₁，a₂，…a₁₀，是首项为1，公差为1的等差数列；列a₁₀，a₁₁，…a₂₀，是公差为d的等差数列；a₂₀，a₂₁，…a₃₀，是公差为d²的等差数列（d≠0）．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）试写出a₃₀关于d的关系式，并求a₃₀的取值范围；
（3）续写已知数列，使得a₃₀，a₃₁，…a₄₀，是公差为d³的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？