2011年广东省深圳市高级中学高考数学最后模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若A={x∈R||x|＜2}，B={x∈R|3^x＜1}，则A∩B=（ ）
A．（-2，2）
B．（-2，-1）
C．（0，2）
D．（-2，0）

2. 难度：中等

已知α∈（0，π），且，则cosα-sinα的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知a、b、c成等差数列，则直线ax-by+c=0被曲线x²+y²-2x-2y=0截得的弦长的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

4. 难度：中等

程序框图如下：

如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入（ ）
A．k≤10
B．k≥10
C．k≤11
D．k≥11

5. 难度：中等

已知D为△ABC的边BC的中点，在△ABC所在平面内有一点P，满足++=0，设=λ，则λ的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．

6. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则w=2ab的最大值为（ ）
A．
B．6
C．3
D．2

7. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，D和E分别为棱AC、AB上的动点（不包括端点），若C₁E⊥B₁D，则线段DE长度的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.2]=-2，[1.2]=1，[1]=1，若f（x）=kx+k（k＞0）有三个不同的根，则实数k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

9. 难度：中等

已知复数w满足2w-4=（3+w）i（i为虚数单位），则=    ．

10. 难度：中等

函数y=sin⁴x+cos⁴x的单调递增区间是     ．

11. 难度：中等

掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为    ．

12. 难度：中等

已知椭圆的左焦点是F₁，右焦点是F₂，点P在椭圆上，如果线段PF₁的中点在y轴上，那么|PF₁|：|PF₂|=    ．

13. 难度：中等

已知对于任意实数x，函数f（x）满足f（-x）=f（x）．若方程f（x）=0有2011个实数解，则这2011个实数解之和为    ．

14. 难度：中等

已知圆的极坐标方程ρ=2cosθ，直线的极坐标方程为ρcosθ-2ρsinθ+7=0，则圆心到直线距离为     ．

15. 难度：中等

如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于    ．

16. 难度：中等

已知向量=（cosx，sinx），=（-cosx，cosx），=（-1，0）．
（Ⅰ）若，求向量、的夹角；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值．

17. 难度：中等

甲有一个装有x个红球、y个黑球的箱子，乙有一个装有a个红球、b个黑球的箱子，两人各自从自己的箱子里任取一球，并约定：所取两球同色时甲胜，异色时乙胜（a，b，x，y∈N^*）．
（Ⅰ）当x=y=3，a=3，b=2，时，求甲获胜的概率；
（Ⅱ）当x+y=6，a=b=3时，规定：甲取红球获胜得3分；取黑球获胜得1分；甲负得0分．求甲的得分期望达到最大时的x，y值；
（Ⅲ）当x=a，y=b时，这个游戏规则公平吗？请说明理由．

18. 难度：中等

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l 上的射影为A₁，点B在l的射影为B₁，已知AB=2，AA₁=1，BB₁=，求：
（Ⅰ） 直线AB分别与平面α，β所成角的大小；
（Ⅱ）二面角A₁-AB-B₁的余弦值．

19. 难度：中等

给定椭圆＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F₁的距离为．
（1）求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角为45°的直线l与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的伴随圆相交于M、N两点，求弦MN的长；
（3）点P是椭圆C的伴随圆上的一个动点，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

20. 难度：中等

已知函数，g（x）=x+ax³，a为常数．
（1）求函数f（x）的定义域M；
（2）若a=0时，对于x∈M，比较f（x）与g（x）的大小；
（3）讨论方程f（x）=g（x）解的个数．

21. 难度：中等

已知各项均不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=c，2S_n=a_na_n+1+r．
（1）若r=-6，数列{a_n}能否成为等差数列？若能，求c满足的条件；若不能，请说明理由．
（2）设P_n=，Q_n=，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式-n＜P_n-Q_n＜n²+n恒成立．