2011年江苏省高考数学预测试卷（3）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知全集为R，若集合M={x|x-1≥0}，N={x|2x+1＞0}，则（∁_RM）∩N=    ．

2. 难度：中等

复数在复平面内对应的点位于第     象限．

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₁，a₃，a₄成等比数列，则a₁等于    ．

4. 难度：中等

已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，7），若（）∥，则k=    ．

5. 难度：中等

在[0，π]上的单调递增区间是    ．

6. 难度：中等

已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子（无上盖），上口放着一个半径为5cm的钢球，则球心到盒底的距离为    cm．

7. 难度：中等

已知点A（-3，-4），B（6，3）位于直线l：ax+y+1=0异侧，且到直线l的距离相等，则实数a的值等于    ．

8. 难度：中等

已知的零点在区间（k，k+1）（k∈N）上，则k的值为    

9. 难度：中等

曲线C：f（x）=sinx+e^x+2在x=0处的切线方程为    ．

10. 难度：中等

在所有棱长都相等的三棱锥P-ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个命题：①BC∥平面PDF；②DF∥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PDF⊥平面PAE，其中正确命题的序号为    ．

11. 难度：中等

定义在（0，+∞）上函数f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0，若不等式对任意x，y∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d在区间[-1，2]上是减函数，那么b+c有最大值    ．

14. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=pa_n+2ⁿ（n∈N^*），其中p为常数．若存在实数p，使得数列{a_n}为等比数列，则数列{a_n}的通项公式a_n=    ．

15. 难度：中等

△ABC的外接圆的直径为1，三个内角A、B、C的对边为a、b、c，，，已知．
（1）求sinA+sinB的取值范围；
（2）若abx=a+b，试确定实数x的取值范围．

16. 难度：中等

如图，已知等腰梯形ABCQ，AB∥CQ，CQ=2AB=2BC=4，D是CQ的中点，∠BCQ=60°，将△QDA沿AD折起，点Q变为点P，使平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：BC∥平面PAD；
（2）求证：△PBC是直角三角形；
（3）求三棱锥P-BCD的体积．

17. 难度：中等

某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f（x）与时间x（小时）的关系为，x∈[{0，24}]，其中a与气象有关的参数，且，若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
（1）令，求t的取值范围；
（2）求函数M（a）；
（3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？

18. 难度：中等

已知椭圆左右两焦点为F₁，F₂，P是椭圆上一点，且在x轴上方，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）当e取最大值时，过F₁，F₂，P的圆Q的截y轴的线段长为6，求圆Q的方程；
（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线L上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2lnx-x²（x＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间与最值；
（2）若方程2xlnx+mx-x³=0在区间内有两个不相等的实根，求实数m的取值范围；  （其中e为自然对数的底数）
（3）如果函数g（x）=f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，求证：g'（px₁+qx₂）＜0（其中，g'（x）是g（x）的导函数，正常数p，q满足p+q=1，q＞p）

20. 难度：中等

定义数列{a_n}：a₁=1，当n≥2时，其中r≥0常数．
（Ⅰ）若当r=0时，S_n=a₁+a₂+…+a_n；
（1）求：S_n；
（2）求证：数列{S_2n}中任意三项均不能构成等差数列；
（Ⅱ）求证：对一切n∈N^*及r≥0，不等式恒成立．

21. 难度：中等

（几何证明选讲）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．△ABC中，AB＜AC，AD、AE分别是BC边上的高和中线，且∠BAD=∠EAC．证明∠BAC是直角．

22. 难度：中等

设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换． 求逆矩阵M^-1以及椭圆在M^-1的作用下的新曲线的方程．

23. 难度：中等

已知直线l经过点P（1，1），倾斜角，
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆x²+y²=4相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．

24. 难度：中等

（选修4-5：不等式选讲）设f（x）=x²-x+l，实数a满足|x-a|＜l，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1．

25. 难度：中等

甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，求比赛停止时已打局数ξ的期望Eξ．

26. 难度：中等

已知数列a_n满足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）由（1）猜想a_n的通项公式，并给出证明．