2011年江苏省南通市海安县高级中学高考数学热身试卷（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

若将复数（1-i）（1+2i）²表示为p+qi（p，q∈R，i是虚数单位）的形式，则p+q=    ．

2. 难度：中等

已知tanα=2，则=    ．

3. 难度：中等

阅读下列算法语句：
Read  S←1
For  I  from  1  to  5  step 2
S←S+I
End for
PrintS
End
输出的结果是    ．

4. 难度：中等

命题“若a＞b，则2^a＞2^b-1”的否命题为    ．

5. 难度：中等

已知向量，||=2，则|2-|的最大值为    ．

6. 难度：中等

设集合，则A∪B=    ．

7. 难度：中等

根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为    人．

8. 难度：中等

在区间[-5，5]内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x²+ax-a²＜0的一个解的概率大小为    ．

9. 难度：中等

设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是    ．
①若b⊂α，c∥α，则b∥c ②若b⊂α，b∥c，则c∥α
③若c∥α，α⊥β，则c⊥β  ④若c∥α，c⊥β，则α⊥β

10. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄≥10，S₅≤15，则a₄的最大值为    ．

11. 难度：中等

选做题：若a，b，c＞0，且a²+ab+ac+bc=4，则2a+b+c的最小值为    ．

12. 难度：中等

设函数，若关于x的方程f²（x）-af（x）=0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为    ．

14. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，f'（x）＜1，则不等式f（x²）＜x²+1解集    ．

15. 难度：中等

如图，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已，设∠APB=α，∠APC=β，α，β均为锐角．
（1）求β；
（2）求向量的数量积的值．

16. 难度：中等

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．

17. 难度：中等

如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路．已知AB=120km，∠BAC=75°，∠ABC=45°．有一辆车（称甲车）以每小时96（km）的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（km）的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟．已知早上8点时甲车从车站A、乙车从车站B同时开出．
（1）计算A，C两站距离，及B，C两站距离；
（2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换．
（3）求10点时甲、乙两车的距离．
（参考数据：，，，）

18. 难度：中等

设圆C₁：x²+y²-10x-6y+32=0，动圆C₂：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+12=0，
（Ⅰ）求证：圆C₁、圆C₂相交于两个定点；
（Ⅱ）设点P是椭圆上的点，过点P作圆C₁的一条切线，切点为T₁，过点P作圆C₂的一条切线，切点为T₂，问：是否存在点P，使无穷多个圆C₂，满足PT₁=PT₂？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由．

19. 难度：中等

设f（x）=x³，等差数列{a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，记S_n=，令b_n=a_nS_n，数列的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式和S_n；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的最大值和最小值；
（3）若，如何由（2）的结论求g（x）的最大值和最小值．

21. 难度：中等

如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：ED²=EB•EC．

22. 难度：中等

若两条曲线的极坐标方程分别为p=l与p=2cos（θ+），它们相交于A，B两点，求线段AB的长．

23. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM⊥平面PBD．
（1）求PA的长；
（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．

24. 难度：中等

用a，b，c，d四个不同字母组成一个含n+1（n∈N⁺）个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2时排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如图所示．记这含n+1个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为a_n．
（1）试用数学归纳法证明：；
（2）现从a，b，c，d四个字母组成的含n+1（n∈N^*，n≥2）个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a的概率为P，求证：．