2011年北京市延庆县高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，a-1}，B={0，3，a²+1}，若A∩B={2}，则实数a的值为  （ ）
A．±1
B．1
C．-1
D．0

2. 难度：中等

“x＜-1”是“|x|＞x”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件

3. 难度：中等

S_n是数列{a_n}的前n项和，，则S₅=（ ）
A．30
B．32
C．36
D．38

4. 难度：中等

极坐标系中，直线l的方程是ρcosθ=2，则点到直线l的距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．

5. 难度：中等

右图是一个三棱锥的直观图和三视图，其三视图均为直角三角形，则b=（ ）

A．2
B．
C．
D．

6. 难度：中等

O是坐标原点，向量，，若，则=（ ）
A．1
B．-1
C．7
D．-7

7. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx，，若方程f（x）=a有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则a的值是（ ）
A．
B．
C．
D．1

8. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一一个x₂∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=c（c为常数）成立，则称函数f（x）在D上“与常数c关联”，现有函数 ①，②y=-x³，③，④y=ln（-x），⑤，则其中满足在其定义域上与常数1关联的所有函数是（ ）
A．①②⑤
B．①③
C．②④⑤
D．②④

二、解答题

9. 难度：中等

已知a为实数，且，则a=    ．

10. 难度：中等

点M的坐标（x，y）满足，O是坐标原点，则|OM|的最大值为    最小值为    ．

11. 难度：中等

右图所示程序框图执行后输出的值为    ．

12. 难度：中等

如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD=    ．

13. 难度：中等

如图，为了测量塔AB的高度，先在塔外选择和塔脚在一条水平直线上的三点C、D、E，测得仰角分别为θ、2θ、4θ，CD=30m，，则θ=    ，塔高AB=    ．

14. 难度：中等

椭圆C的方程为，F₁、F₂分别为C的左、右焦点，点A的坐标为（1，1），P是C上的任意一点，给出下列结论：
①|PF₁|-|PF₂|有最大值5，②|PF₁|•|PF₂|有最大值9，③|PF₁|²+|PF₂|²有最大值18，④|PF₁|+|PA|有最小值，其中正确结论的序号是    ．

15. 难度：中等

已知
（Ⅰ）如果sinx=，，求f（x）的值；
（Ⅱ）如果，设g（x）=2f（2x），求g（x）的最大值和最小值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD⊥底面ABCD，且三角形PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M是AP的中点．
（Ⅰ）求证AD⊥PB；
（Ⅱ）求异面直线DM与PB所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角A-PD-B的余弦值．

17. 难度：中等

上海世博会期间，某校组织了共有16名学生参加的志愿者团队，其中女生9人，男生7人，女生中共有5人带了学生证，男生中共有4人带了学生证．
（Ⅰ）在该团队中随机采访3名学生，求恰有1名女生持有学生证且至多有1名男生持有学生证的概率；
（Ⅱ）在该团队中随机采访3名女生，设其中持有学生证的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）当k=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若k＞0且k≠1，求函数f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B与抛物线x²=4y的焦点重合，离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l与椭圆交于M、N两点，且椭圆C的右焦点F恰为△BMN的垂心（三条高所在直线的交点），若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

对于数列{a_n}，如果存在一个数列{b_n}，使得对于任意的n∈N^*，都有a_n≥b_n，则把{b_n}叫做{a_n}的“基数列”．
（Ⅰ）设a_n=-n²，求证：数列{a_n}没有等差基数列；
（Ⅱ）设a_n=n³-n²-2tn+t²，，（n∈N^*），且{b_n}是{a_n}的基数列，求t的取值范围；
（Ⅲ）设a_n=1-e^-n，，（n∈N^*），求证{b_n}是{a_n}的基数列．