2010年上海市重点中学高考数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

“a=1”是“函数y=cos²ax-sin²ax的最小正周期为π”的    条件．

2. 难度：中等

若向量的夹角为120°，，则=    ．

3. 难度：中等

已知函数，则f（x）的单调增区间为    ．

4. 难度：中等

设集合A={x|2lgx=lg（8x-15），x∈R}，B={x|cos＞0，x∈R}，则A∩B的元素个数为     个．

5. 难度：中等

设数列{a_n}和{b_n}均为等差数列，它们前n项和分别为S_n和T_n，且，则=    ．

6. 难度：中等

若的展开式中含x的正整数指数幂的项共有    项．

7. 难度：中等

若，则α=    ．

8. 难度：中等

数列{a_n}中，前n项和S_n=2ⁿ（n为正整数），则a_n=    ．

9. 难度：中等

一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位．若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为X，则E（X）=    ．

10. 难度：中等

某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是    ．

11. 难度：中等

常数，定义函数为双曲正弦函数，记为sinhx，定义函数为双曲余弦函数，记为coshx．则以下三个命题正确的是    ．（只需填正确命题序号）
（1）cosh（x+y）=coshx•coshy-sinhx•sinhy；
（2）sinh（x+y）=sinhx•coshy+coshx•sinhy；
（3）（sinhx）²-（coshx）²=1．

12. 难度：中等

已知向量则与夹角的取值范围是     ．

13. 难度：中等

过椭圆C：上的点A（1，1）作斜率为k与-k（k≠0）的两条直线，分别交椭圆于M，N两点，则直线MN的斜率为    ．

14. 难度：中等

设，定义一种向量积．已知，点P（x，y）在y=sinx的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

复数z满足，则z=（ ）
A．1+i
B．1-i
C．3+i
D．3-i

16. 难度：中等

甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表，s₁，s₂，s₃分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）

甲的成绩
环数	7	8	9	10
频数	5	5	5	5

乙的成绩
环数	7	8	9	10
频数	6	4	4	6

丙的成绩
环数	7	8	9	10
频数	4	6	6	4

A．s₃＞s₁＞s₂
B．s₂＞s₁＞s₃
C．s₁＞s₂＞s₃
D．s₂＞s₃＞s₁

17. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O是原点，=（1、0），P是平面内的动点，如，则P点的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

18. 难度：中等

对于任意正整数n，定义n得双阶乘“n!!”如下：当n为偶数时，n!!=n（n-2）（n-4）…6•4•2；当n为奇数时，n!!=n（n-2）（n-4）…5•3•1，现有以下四个命题：
①（2011!!）（2010!!）=2011!
②2010!!=2¹⁰⁰⁵•1005!
③2010!!的个位数是0 
④2011!!的个位数是5．
其中正确的命题的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

三、解答题

19. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点在角α的终边上，点Q（sin²θ，-1）在角β的终边上，且．
（1）求cos2θ；
（2）求sin（α+β）的值．

20. 难度：中等

如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O．OC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点．
（1）求证：BC与SA不可能垂直；
（2）设圆锥的高为4，异面直线AD与BC所成角的余弦值为，求圆锥的体积．

21. 难度：中等

某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑．商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息．已知欠款的月利率为0.5%．
（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？
（2）假设货主每月还商店a元，写出在第n（n=1，2，…36）个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式．
（3）每月的还款额为多少元（精确到0.01）？

22. 难度：中等

已知函数
（1）求f（x）的值域
（2）设函数g（x）=ax-2，x∈[-2，2]，对于任意x₁∈[-2，2]，总存在x∈[-2，2]，使得g（x）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

23. 难度：中等

我们知道，直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面的问题．
（1）设F₁、F₂是椭圆M：的两个焦点，点F₁、F₂到直线l：的距离分别为d₁、d₂，试求d₁•d₂的值，并判断直线l与椭圆M的位置关系．
（2）设F₁、F₂是椭圆M：（a＞b＞0）的两个焦点，点F₁、F₂到直线l：mx+ny+p=0（m、n不同时为零）的距离分别为d₁、d₂，且直线l与椭圆M相切，试求d₁•d₂的值．
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的相交、相离位置关系的充要条件（不必证明）．