2010年江西省抚州市高三质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合，则A∩B等于（ ）
A．A
B．B
C．∅
D．Z⁺

2. 难度：中等

若a为实数，=-i，则a等于（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

3. 难度：中等

称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a）、（b，+∞）上单调递增，在（a，b）上单调递减．则以下函数中不是好函数的是（ ）
A．y=x|x-2|
B．y=x³-x+1
C．y=2x³-3x²-6x-1
D．y=7x⁴+28x+38

4. 难度：中等

若将函数y=f（x）的图象按向量=（，1），平移得到y=sin（2x-）的图象，则f（x）的解析式为（ ）
A．sin2x-1
B．cos2x+1
C．cosx2-1
D．sin2x+1

5. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁，S₂，S₃成等差数列，则{a_n}的公比q等于（ ）
A．1
B．
C．-
D．2

6. 难度：中等

设随机变量ξ～N（μ，σ²），对非负数常数k，则P（|ξ-μ|≤kσ）的值是（ ）
A．只与k有关
B．只与μ有关
C．只与σ有关
D．只与μ和σ有关

7. 难度：中等

设f^-1（x）是函数f（x）=2^x-（）^x+x的反函数，则f^-1（x）＞1成立的x的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．x＜0

8. 难度：中等

若（1+x）+（1+x）²+…+（1+x）ⁿ=a+a₁（1-x）+a₂（1-x）²+…+a_n（1-x）ⁿ则a-a₁+a₂-…+（-1）ⁿa_n等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知a，b∈R⁺，m，n∈R，a²m²+b²n²=m²n²．设M=，N=a+b则M，N大小关系是（ ）
A．M＞N
B．M≥N
C．M＜N
D．M≤N

10. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1．已知G，E分别为A₁B₁，CC₁的中点，D，F分别为线段AC，AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知x²+y²=25．则函数的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

抛物线x²=-8y的准线与y轴交于点A．过点A作直线交抛物线于M，N两点，．点B在抛物线对称轴上，且．则的取值范围是（ ）
A．（3，+∞）
B．（4，+∞）
C．（5，+∞）
D．（6，+∞）

二、解答题

13. 难度：中等

已知cos（α-）+sinα=，则sin（α+）的值为     ．

14. 难度：中等

在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，将该矩形沿对角线AC折成直二面角D-AC-B，则四面体ABCD的外接球的体积为    ．

15. 难度：中等

已知数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₂=5，则=    ．

16. 难度：中等

给出下列命题：
①不等式|x-lgx|＜x+|lgx|成立的充要条件是x＞1；
②已知函数在x=0处连续，则a=-1；
③当x∈[0，1]时，不等式恒成立，则实数k的取值范围是[0，1]；
④将函数的图象按向量平移后，与函数的图象重合，则ω的最小值为．
你认为正确的命题是    ．（写出所有正确命题的序号）

17. 难度：中等

已知△ABC中，AC=1，，设∠BAC=x，并记．
（1）求函数f（x）的解析式及其定义域；
（2）设函数g（x）=6mf（x）+1，若函数g（x）的值域为，试求正实数m的值．

18. 难度：中等

某学校要用鲜花布置花圃中ABCDE五个不同区域，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花．现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择．
（Ⅰ）当A、D区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数；
（Ⅱ）求恰有两个区域用红色鲜花的概率；
（Ⅲ）记ξ为花圃中用红色鲜花布置的区域的个数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

19. 难度：中等

定义在（0，+∞）上的函数，其中e=2.71828…是自然对数的底数，a∈R．
（1）若函数f（x）在点x=1处连续，求a的值；
（2）若函数f（x）为（0，1）上的单调函数，求实数a的取值范围，并判断此时函数f（x）在（0，+∞）上是否为单调函数．

20. 难度：中等

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，∠ABC=120°，又顶点A₁在底面ABC上的射影落在AC上，侧棱AA₁与底面ABC成60°角，D为AC的中点．
（1）求证：BD⊥AA₁；
（2）如果二面角A₁-BD-C₁为直二面角，试求侧棱CC₁与侧面A₁ABB₁的距离．

21. 难度：中等

如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（-，C，内切圆圆心I（1，t）．设A点的轨迹为L
（1）求L的方程；
（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q．使对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知：数列{a_n}，{b_n}中，a₁=0，b₁=1，且当n∈N^*时，a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求最小自然数k，使得当n≥k时，对任意实数λ∈[0，1]，不等式（2λ-3）b_n≥（2λ-4）a_n+（λ-3）恒成立；
（3）设（n∈N^*），求证：当n≥2都有．