2010年山东省泰安市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内复数Z=i（1-2i）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知M={x|x-a=0}，N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为（ ）
A．1
B．-1
C．1或-1
D．0或1或-1

3. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且4a₁，2a₂，a₃成等差数列．若a₁=1，则S₄=（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16

4. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-a）（x-b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a^x+b^x的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

有编号为1，2，…，1000的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品作为样品进行检验，下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s₁，s₂分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数y=f（x）的图象在点x=5处的切线方程是y=-x+8，则f（5）+f′（5）等于（ ）
A．1
B．2
C．0
D．

8. 难度：中等

已知P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，则的值（ ）
A．是定值6
B．最大值为8
C．最小值为2
D．与P点位置有关

9. 难度：中等

从-2、-1、0、1、2、3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y=ax²+bx+c的系数a、b、c，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为（ ）
A．6
B．20
C．100
D．120

10. 难度：中等

已知圆C：x²+y²=4与函数y=的图象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁²+x₂²等于（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2

11. 难度：中等

已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x²+y²=9在区域D内的弧长为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

13. 难度：中等

已知随机变量ξ服从正态分布，且方程x²+2x+ξ=0有实数解的概率为，若P（ξ≤2）=0.8，则P（0≤ξ≤2）=    ．

14. 难度：中等

如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高h=    ．

15. 难度：中等

过双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若|FM|=|ME|．则该双曲线的离心率为     ．

16. 难度：中等

下列四个命题：
①f（a）f（b）＜0为函数f（x）在区间（a，b）内存在零点的必要不充分条件；
②命题“∀x∈R，e^x-2sinx+4≤0”的否定是“∃x∉R，e^x-2sinx+4＞0”
③从总体中抽取的样本（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）．若记，则回归直线必过点
④若关于x的不等式|x-1|+|x|＞m的解集为{x|x＜-1，或x＞2}，则m=3．
其中真命题的序号为     （写出所有正确的命题）

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且，又P0⊥平面ABC，DA∥PO，．
（I）求证：PD⊥平面COD；
（II）求二面角A-BC-D的余弦值．

19. 难度：中等

已知数列，且
（I）求证：数列是等差数列，并求a_n；
（II）令，求数列{b_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N^*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是．现从袋中任意摸出2个球．
（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？

21. 难度：中等

在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-1，0），（1，0），点G是△ABC的重心，y轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|．
（I）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；
（II）不过点A的直线l：y=kx+b与轨迹E交于不同的两点P、Q，当=0时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．

22. 难度：中等

已知函数．
（1）当a=1时，求上最大及最小值；
（2）当1＜x＜2时，求证（x+1）lnx＞2（x-1）；
（3）若函数在区间（1，2）上不单调______，求a的取值范围．